絶対値のある積分は区間を分ける－分け方に工夫が必要なとき(東京都立大2017理系第3問)

例として，$\displaystyle\int_{-2}^2|x|\space dx$ を求めてみましょう。

絶対値の記号があるときのグラフは上のようになります。$y=x$ のグラフを考え，$x$ 軸より下の部分を上に向かってひっくり返すと絶対値のグラフになります。

このとき，$x$ は $-2$ から $2$ まで変化していきますが，$-2$ から $0$ の区間で符号を逆にしなければならないことが分かります。

式を書き換えると

$\displaystyle\int_{-2}^{0}-x\space dx+\int_0^2x\space dx$
$=\Big[-\cfrac{1}{2}x^2\Big]_{-2}^0+\Big[\cfrac{1}{2}x^2\Big]_0^2$
$-\cfrac{1}{2}\{0-(-2)^2\}+\cfrac{1}{2}(2^2-0)$
$=4$

このように，式に絶対値がある場合には，積分区間を分けて計算し，それらを合計して積分します。

演習問題

$x$ は $0\leqq x\leqq 1$ をみたす実数とし，$e$ は自然対数の底とする。以下の問いに答えなさい。（東京都立大2017）

(1) 定積分　$\displaystyle\int_{x}^{x+1}|1-t|e^{1-t}\space dt$ を求めなさい。

(2) 定積分　$\displaystyle\int_{x}^{x+1}|\pi\sin(\pi t)|\space dt$　を求めなさい。

(3) 関数

$f(x)=\displaystyle\int_{x}^{x+1}\{|1-t|e^{1-t}-|\pi\sin(\pi t)|\}\space dt$　$(0\leqq x\leqq1)$

の最大値と最小値，およびそのときの $x$ の値を求めなさい。

積分区間を分ける

(1)から始めます。

問題文の $0\leqq x\leqq 1$ をもとに絶対値を区切るポイントを見つけましょう。

$\displaystyle\int_{x}^{x+1}|1-t|e^{1-t}\space dt$

式を見ると，$t$ が $x$ から $x+1$ まで変化することが分かります。よって

$0\leqq x\leqq1$ より

$x=t$ とすると

$0\leqq t\leqq1$
$-1\leqq-t\leqq0$
$0\leqq1-t\leqq1$

つまり，積分のスタート地点では絶対値の中はプラスの値です。次に

$0\leqq x\leqq1$ より

$1\leqq x+1\leqq2$

$x+1=t$ とすると

$1\leqq t\leqq2$
$-2\leqq-t\leqq-1$
$-1\leqq1-t\leqq0$

積分の終わりの地点では絶対値の中はマイナスの値です。

今度は，絶対値の区切ポイントを見つけましょう。

$1-t=0$ のとき

$t=1$

これらから，$1-t$ はプラスから始まって $t=1$ で符号が逆転，あとはマイナスになることが分かります。よって積分区間を $[x,1]$ と $[1,x+1]$ に分けて，2つ目の積分は符号を逆にして絶対値を外せばうまくいきそうです。

$\displaystyle\int_{x}^{1}(1-t)e^{1-t}\space dt+\int_{1}^{x+1}(t-1)e^{1-t}\space dt$

式がかけ算なので部分積分に持ち込みましょう。

$\displaystyle=\int_{x}^1(1-t)(-e^{1-t})’\space dt+\int_1^{x+1}(t-1)(-e^{1-t})’\space dt$
$\displaystyle=\int_{x}^1(t-1)(e^{1-t})’\space dt+\int_1^{x+1}(1-t)(e^{1-t})’\space dt$
$\displaystyle=\Big[(t-1)e^{1-t}\Big]_x^1-\int_x^1(t-1)’e^{1-t}\space dt+\Big[(1-t)e^{1-t}\Big]_1^{x+1}-\int_1^{x+1}(1-t)’e^{1-t}\space dt$
$\displaystyle=-(x-1)e^{1-x}-\int_x^1e^{1-t}\space dt-xe^{-x}+\int_1^{x+1}e^{1-t}\space dt$
$=-(x-1)e^{1-x}-\Big[-e^{1-t}\Big]_x^1-xe^{-x}+\Big[-e^{1-t}\Big]_1^{x+1}$
$\displaystyle=-xe^{1-x}+e^{1-x}+1-e^{1-x}-xe^{-x}-e^{-x}+1$
$=2-xe^{1-x}-xe^{-x}-e^{-x}$

式をなるべくまとめておきます。

$=2-(xe+x+1)e^{-x}$

$=2-\{x(e+1)+1\}e^{-x}$　（答え）

三角関数の場合

(2)に進みます。

(1)と同じ手順で積分区間を分けます。

$0\leqq x\leqq1$ より

$x=t$ とすると

$0\leqq\pi t\leqq\pi$
$0\leqq\sin(\pi t)\leqq1$

また

$1\leqq x+1\leqq2$ より

$x+1=t$ とすると

$\pi\leqq\pi t\leqq2\pi$
$-1\leqq\sin(\pi t)\leqq0$

つまり，絶対値の中はプラス→マイナスに変化します。符号が逆転するポイントを求めると

$\sin(\pi t)=0$ とすると

$\pi t=0,\pi,2\pi,\cdots$
$t=0,1,2,\cdots$

よって

$\displaystyle\int_x^1\pi\sin(\pi t)\space dt-\int_1^{x+1}\pi\sin(\pi t)\space dt$