打ち消しの関係を用いて数列の和と和の極限を求める(神戸大学2015理系第4問)

$a$，$b$ を実数とし，自然数 $k$ に対して $x_k=\cfrac{2ak+6b}{k(k+1)(k+3)}$ とする。以下の問に答えよ。

(1) $x_k=\cfrac{p}{k}+\cfrac{q}{k+1}+\cfrac{r}{k+3}$ がすべての自然数 $k$ について成り立つような実数 $p,q,r$ を，$a,b$ を用いて表わせ。

(2) $b=0$ のとき，3 以上の自然数 $n$ に対して $\displaystyle\sum_{k=1}^n x_k$ を求めよ。また，$a=0$ のとき，4 以上の自然数 $n$ に対して $\displaystyle\sum_{k=1}^n x_k$ を求めよ。

(3) 無限級数 $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty x_k$ の和を求めよ。

通分して係数を比べる

(1)から始めます。

$x_k=\cfrac{p}{k}+\cfrac{q}{k+1}+\cfrac{r}{k+3}$ は，通分すると分母が $k(k+1)(k+3)$ となるので，$x_k=\cfrac{2ak+6b}{k(k+1)(k+3)}$ と比べることができそうです。

$x_k=\cfrac{p}{k}+\cfrac{q}{k+1}+\cfrac{r}{k+3}$
$=\cfrac{p(k+1)(k+3)+qk(k+3)+rk(k+1)}{k(k+1)(k+3)}$
$=\cfrac{pk^2+4pk+3p+qk^2+3qk+rk^2+rk}{k(k+1)(k+3)}$
$=\cfrac{(p+q+r)k^2+(4p+3q+r)k+3p}{k(k+1)(k+3)}$

よって

$\cfrac{2ak+6b}{k(k+1)(k+3)}=\cfrac{(p+q+r)k^2+(4p+3q+r)k+3p}{k(k+1)(k+3)}$ 

分子の係数をそれぞれ比べると

$p+q+r=0$　・・・①
$4p+3q+r=2a$　・・・②
$3p=6b$
$p=2b$　・・・③

③を①と②に代入すると

$q+r+2b=0$　・・・④
$3q+r-2a+8b=0$　・・・⑤

⑤－④

$2q-2a+6b=0$
$q-a+3b=0$
$q=a-3b$　・・・⑥

⑥を④に代入して

$a-3b+r+2b=0$
$r=b-a$

したがって

$(p,q,r)=(2b,a-3b,b-a)$　（答え）

数列の和を求める

(2)に進みます。

$x_k=\cfrac{p}{k}+\cfrac{q}{k+1}+\cfrac{r}{k+3}$

に(1)の結果を代入すると

$=\cfrac{2b}{k}+\cfrac{a-3b}{k+1}+\cfrac{b-a}{k+3}$

$b=0$ より

$=\cfrac{a}{k+1}-\cfrac{a}{k+3}$
$=a\big(\cfrac{1}{k+1}-\cfrac{1}{k+3}\Big)$

よって

$\displaystyle\sum_{k=1}^n x_k$
$\displaystyle=a\sum_{k=1}^n\Big(\cfrac{1}{k+1}-\cfrac{1}{k+3}\Big)$

ここで，数列を具体的に並べて書いてみましょう。そうすると同じ分数どうしを打ち消すことができるはずです。

$=a\Big\{\Big(\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+\cancel{\cfrac{1}{4}}+\cdots+\cancel{\cfrac{1}{n}}+\cancel{\cfrac{1}{n+1}}\Big)-\Big(\cancel{\cfrac{1}{4}}+\cancel{\cfrac{1}{5}}+\cdots+\cancel{\cfrac{1}{n+1}}+\cfrac{1}{n+2}+\cfrac{1}{n+3}\Big)$
$=a\Big(\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}-\cfrac{1}{n+2}-\cfrac{1}{n+3}\Big)$
$=a\Big(\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}-\cfrac{1}{n+2}-\cfrac{1}{n+3}\Big)$
$=a\Big(\cfrac{5}{6}-\cfrac{1}{n+2}-\cfrac{1}{n+3}\Big)$

$=a\cdot\cfrac{5(n+2)(n+3)-6(n+3)-6(n+2)}{6(n+2)(n+3)}$
$=a\cdot\cfrac{5n^2+25n+30-6n-18-6n-12}{6(n+2)(n+3)}$
$=a\cdot\cfrac{5n^2+13n}{6(n+2)(n+3)}$
$=\cfrac{an(5n+13)}{6(n+2)(n+3)}$　（答え）

次に，$a=0$ とすると

$x_k=\cfrac{2b}{k}-\cfrac{3b}{k+1}+\cfrac{b}{k+3}$
$=b\Big(\cfrac{2}{k}-\cfrac{3}{k+1}-\cfrac{1}{k+3}\Big)$

よって

$\displaystyle b\sum_{k=1}^n\Big(\cfrac{2}{k}-\cfrac{3}{k+1}+\cfrac{1}{k+3}\Big)$

上と同じように打ち消しの関係を利用したいのですが，このままでは打ち消しができません。

分子の部分だけ見ると $2-3+1$ という関係です。そこで，$-3$ を分解して $-2-1$ としてみたらうまくいくかもしれません。

$\displaystyle b\sum_{k=1}^n\Big(\cfrac{2}{k}-\cfrac{2}{k+1}+\cfrac{1}{k+3}-\cfrac{1}{k+1}\Big)$

$=b\Big\{\Big(\cfrac{2}{1}+\cancel{\cfrac{2}{2}}+\cdots+\cancel{\cfrac{2}{n}}\Big)-\Big(\cancel{\cfrac{2}{2}}+\cancel{\cfrac{2}{3}}+\cdots+\cancel{\cfrac{2}{n}}+\cfrac{2}{n+1}\Big)+\Big(\cancel{\cfrac{1}{4}}+\cancel{\cfrac{1}{5}}+\cdots+\cancel{\cfrac{1}{n+1}}+\cfrac{1}{n+2}+\cfrac{1}{n+3}\Big)-\Big(\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+\cancel{\cfrac{1}{4}}+\cdots+\cancel{\cfrac{1}{n+1}}\Big)\Big\}$
$=b\Big(2-\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{3}-\cfrac{2}{n+1}+\cfrac{1}{n+2}+\cfrac{1}{n+3}\Big)$
$=b\Big(\cfrac{7}{6}-\cfrac{2}{n+1}+\cfrac{1}{n+2}+\cfrac{1}{n+3}\Big)$

一気に通分してもいいのですが，おそらく計算が厄介なことになりそうなので，少しずつ通分してみます。

$=b\Big\{\cfrac{7(n+1)-12}{6(n+1)}+\cfrac{1}{n+2}+\cfrac{1}{n+3}\Big\}$
$=b\Big\{\cfrac{7n-5}{6(n+1)}+\cfrac{1}{n+2}+\cfrac{1}{n+3}\Big\}$
$=b\Big\{\cfrac{(7n-5)(n+2)+6(n+1)}{6(n+1)(n+2)}+\cfrac{1}{n+3}\Big\}$
$=b\Big\{\cfrac{7n^2+14n-5n-10+6n+6}{6(n+1)(n+2)}+\cfrac{1}{n+3}\Big\}$
$=b\Big\{\cfrac{7n^2+15n-4}{6(n+1)(n+2)}+\cfrac{1}{n+3}\Big\}$
$=b\cdot\cfrac{(7n^2+15n-4)(n+3)+6(n+1)(n+2)}{6(n+1)(n+2)(n+3)}$
$=b\cdot\cfrac{7n^3+21n^2+15n^2+45n-4n-12+6n^2+18n+12}{6(n+1)(n+2)(n+3)}$
$=b\cdot\cfrac{7n^3+42n^2+59n}{6(n+1)(n+2)(n+3)}$
$=\cfrac{bn(7n^2+42n+59)}{6(n+1)(n+2)(n+3)}$　（答え）

無限級数を求める

(3)に進みます。

$x_k=\cfrac{2b}{k}+\cfrac{a-3b}{k+1}+\cfrac{b-a}{k+3}$

$=a\Big(\cfrac{1}{k+1}-\cfrac{1}{k+3}\Big)+b\Big(\cfrac{2}{k}+\cfrac{1}{k+3}-\cfrac{3}{k+1}\Big)$

$=\cfrac{an(5n+13)}{6(n+2)(n+3)}+\cfrac{bn(7n^2+42n+59)}{6(n+1)(n+2)(n+3)}$

極限の求め方はセオリー通りです。分母・分子をそれぞれ $n^2$ と $n^3$ で割りましょう。

$=\cfrac{a\Big(5+\cfrac{13}{n}\Big)}{6\Big(1+\cfrac{2}{n}\Big)\Big(1+\cfrac{3}{n}\Big)}+\cfrac{b\Big(7+\cfrac{42}{n}+\cfrac{59}{n^2}\Big)}{6\Big(1+\cfrac{1}{n}\Big)\Big(1+\cfrac{2}{n}\Big)\Big(1+\cfrac{3}{n}\Big)}$

したがって

$\displaystyle\sum_{k=1}^\infty x_k=\cfrac{5a+7b}{6}$　（答え）