数IAIIB東京都立大高校数学の解法

東京都立大2020文系第4問 直交する2本の接線に囲まれた面積とその最小値

関数 $f(x)=2ax-x^2$ $\Big(a>\cfrac{1}{2}\Big)$ に対し,原点 O における曲線 $y=f(x)$ の接線を $l$ とする。$t$ を実数とし,点 $(t,f(t))$ における曲線 $y=f(x)$ の接線を $m$ とする。2 つの接線 $l$ と $m$ が直交しているとき,以下の問いに答えなさい。

(1) $t$ を $a$ を用いて表しなさい。

(2) 曲線 $y=f(x)$ と接線 $m$ と 2 直線 $x=0$,$x=2a$ で囲まれた図形の面積 $S(a)$ を求めなさい。

(3) $a>\cfrac{1}{2}$ のとき,$\cfrac{S(a)}{a}$ の最小値を求めなさい。また,そのときの $a$ の値を求めなさい。

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接線の式を求める

(1)から始めます。

何したらいいかさっぱりです。

問題文から,$t$ と $a$ の関係って直接分からないよね。こういうときは,問題文に書いてあることをとりあえず式にしてみることから始めるといいよ。

まず,接線 $l$ の式を作ってみましょう。

$f'(x)=2a-2x$

$x=0$ のとき

$f'(0)=2a$

接線 $l$ は,原点を通り,傾き $2a$ の直線。よって

$l:y=2ax$

次に接線 $m$ を作ります。

点 $(t,f(t))$ における接線の傾きは

$f'(t)=2a-2t=2(a-t)$

接線 $m$ は

$m:y-f(t)=2(a-t)(x-t)$
$y=2(a-t)(x-t)+2at-t^2$
$=2(a-t)x-2t(a-t)+2at-t^2$
$=2(a-t)x-2at+2t^2+2at-t^2$
$=2(a-t)x+t^2$

ここで,2 本の直線が垂直に交わるとき,直線の傾きどうしをかけると $-1$ になることを思い出しましょう。

$2a\times2(a-t)=-1$
$4a^2-4at=-1$
$4at=4a^2+1$
$t=a+\cfrac{1}{4a}$ (答え)

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積分して面積を求める

(2)に進みます。

いったん,おおまかなグラフを描いておいた方が良いでしょう。

$f(x)$ を平方完成すると

$f(x)=2ax-x^2$ $\Big(a>\cfrac{1}{2}\Big)$
$=-(x^2-2ax)$
$=-(x-a)^2+a^2$

また $f(x)=0$ となるとき

$2ax-x^2=0$
$x(2a-x)=0$
$x=0,2a$

さらに,$t$ と $2a$ を比べると,$t=a+\cfrac{1}{4a}$ であり,$\cfrac{1}{4a}<a$ であることを考えると,$t<2a$ であることが分かります。

$\displaystyle S(a)=\int_0^{2a}2(a-t)x+t^2-2ax+x^2\space dx$
$\displaystyle=\int_0^{2a}-2tx+t^2+x^2\space dx$
$=\Big[-tx^2+t^2x+\cfrac{x^3}{3}\Big]_0^{2a}$
$=-4a^2t+2at^2+\cfrac{8}{3}a^3$
$=-4a^2\Big(a+\cfrac{1}{4a}\Big)+2a\Big(a+\cfrac{1}{4a}\Big)^2+\cfrac{8}{3}a^3$
$=-4a^3-a+2a\Big(a^2+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{16a^2}\Big)+\cfrac{8}{3}a^3$
$=-4a^3-a+2a^3+a+\cfrac{1}{8a}+\cfrac{8}{3}a^3$
$=\cfrac{2}{3}a^3+\cfrac{1}{8a}$ (答え)

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相加・相乗平均

(3)に進みます。

$\cfrac{S(a)}{a}=\cfrac{2}{3}a^2+\cfrac{1}{8a^2}$

最小値どうしたらいいの?

式を通分してみると,$\cfrac{16a^4+3}{24a^2}$ となり,分母と分子に $a$ がある状態です。そして,これ以上整理できそうにありません。分母か分子のどちらか一方にだけ $a$ がある状態であれば,そこから最小値や最大値を考えることができるのですが,それができないときは相加相乗平均の可能性を疑ってみましょう。

相加・相乗平均
$a+b\geqq2\sqrt{ab}$ (等号成立は $a=b$ のとき)

相加・相乗平均より

$\cfrac{2}{3}a^2+\cfrac{1}{8a^2}\geqq2\sqrt{\cfrac{2}{3}a^2\cdot\cfrac{1}{8a^2}}$
$\geqq2\sqrt{\cfrac{1}{12}}$
$\geqq2\cfrac{1}{2\sqrt{3}}$
$\geqq\cfrac{\sqrt{3}}{3}$

したがって,最小値は $\cfrac{\sqrt{3}}{3}$

このとき

$\cfrac{2}{3}a^2=\cfrac{1}{8a^2}$
$a^4=\cfrac{3}{16}$

$a$ は正の数だから

$a^2=\cfrac{\sqrt{3}}{4}$
$a=\cfrac{\sqrt[4]{3}}{2}$ (答え)

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