数IAIIB東京都立大高校数学の解法

東京都立大2015文系第4問【IA】定点を通る二次関数と直線との交点の個数

二次関数が定点を通るときに,$k$ の値によってグラフがどう変化するかを考えていく。グラフが描ければ難しくないから練習問題としてチャレンジして。

座標平面において曲線 $y=k(1-x^2)-1$ ($k$ は正の定数)を $C_1$ とし,曲線 $y=1-|x|$ を $C_2$ とする。このとき,以下の問いに答えなさい。(東京都立大2015)

(1) $C_1$ は $k$ の値によらない定点を通る。この定点の座標をすべて求めなさい。

(2) $C_1$ と $C_2$ が共有点をもつような正の定数 $k$ の値の範囲を求めなさい。

(3) 正の定数 $k$ が(2)で求めた範囲になるとき,$C_1$ と $C_2$ の共有点の個数を求めなさい。

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k が消える場合を考える

(1)から始めます。

$k$ の値によらないということは,式から $k$ の値が消えるということと同じだと考えましょう。

式の形から,$1-x^2$ が 0 になれば,$k\times0$ となって,$k$ が消えます。

つまり

$1-x^2=0$
$x^2=1$
$x=\pm1$

このとき,$k(1-x^2)$ は 0 になるので,どちらも $y=-1$ となります。

したがって

$(1,-1),\space(-1,-1)$ (答え)

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判別式を作る

(2)に進みます。

交点を求めるので,式を連立します。ただし,式に絶対値があるので,$x$ が正の場合と負の場合に分けて考えましょう。

(i) $x\geqq0$ のとき

式を連立して

$k(1-x^2)-1=1-x$
$k-kx^2-1=1-x$
$kx^2-x+2-k=0$

共有点を持つということは,判別式が 0 以上と考えることができます。この辺りもセオリーとして覚えましょう。

$D=(-1)^2-4k(2-k)\geqq0$
$1-8k+4k^2\geqq0$

$4k^2-8k+1=0$ とすると

$k=\cfrac{4\pm\sqrt{16-4}}{4}$
$=\cfrac{4\pm2\sqrt{3}}{4}$
$=\cfrac{2\pm\sqrt{3}}{2}$
$k\leqq\cfrac{2-\sqrt{3}}{2}$,$\cfrac{2+\sqrt{3}}{2}\leqq k$

(ii) $x<0$ のとき

$k(1-x^2)-1=1+x$
$k-kx^2-1=1+x$
$kx^2+x+2-k=0$
$D=1-4k(2-k)\geqq0$

(i)と同じ式になったので,$k$ の範囲も同じです。

$k\leqq\cfrac{2-\sqrt{3}}{2}$,$\cfrac{2+\sqrt{3}}{2}\leqq k$

最後に,$k$ は正の定数であることに注意して

$0<k\leqq\cfrac{2-\sqrt{3}}{2}$,$\cfrac{2+\sqrt{3}}{2}\leqq k$

(答え)

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共有点の個数を考える

(3)に進みます。

ここは実際にグラフを描いて考えると,理解しやすいでしょう。

(i) $k=\cfrac{2-\sqrt{3}}{2}$ のとき

まず,$D=0$ の場合から考えると良いでしょう。

交点 2 個?

そう。式に絶対値あるときは少し注意が必要。さっき場合分けしたけど,$x\geqq0$ の範囲で,共有点 1 個,$x<0$ の範囲で共有点 1 個できる。実際には異なる直線が 2 本あることに注意しないといけない。


また,$k=\cfrac{2+\sqrt{3}}{2}$ のときも $D=0$ となるので,共有点は 2 個です。

(ii) $0<k<\cfrac{2-\sqrt{3}}{2}$ のとき

判別式としては $D>0$ だから,共有点は 2 個ですが,上と同様に $x\geqq0$ のときと,$x<0$ のときで 2 個ずつできます。合わせて 4 個です。

また,判別式から考えて,$\cfrac{2+\sqrt{3}}{2}<k$ のときも共有点は 4 個できます。ただし,これには注意が必要です。

(iii) $k=2$ のとき

$C_1$ と $y$ 軸との交点は $k-1$ であり,$k=2$ のとき,$k-1=1$ となります。これは $C_2$ 上の点でもあります。

どうなるの?

結局,4 個の交点のうち,2 つがカブることになって,共有点は 3 個になる。


(iv) $k>2$ のとき

さらに注意が必要な場合が,$k>2$ のときです。

グラフ描いてみると分かるけど,共有点は 2 個。

でも,$D>0$ だから 4 個できないんですか?

直線がずっと伸びていればね。実際には,$y$ 軸のところで直線が切れてるから,そうならないの。2 本の直線がずっと伸びてるのなら 4 か所交点ができるのだけど。

ああ,そういうこと。

したがって

$0<k<\cfrac{2-\sqrt{3}}{2}$ のとき 4 個。
$k=\cfrac{2\pm\sqrt{3}}{2}$ のとき 2個。
$\cfrac{2+\sqrt{3}}{2}<k<2$ のとき 4 個。
$k=2$ のとき 3 個。
$k>2$ のとき 2 個。

(答え)

2 次関数のグラフが $y$ 軸上の $k-1$ を通ることと,$(1,-1),\space(-1,-1)$ を通ることに注意して,どのような曲線ができるかを細かく調べていきましょう。

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