対数関数の式を t に置き換えて整理する(東京都立大2020文系第1問)

$a$ を実数とする。関数 $f(x)$ を

$f(x)=\cfrac{1}{4}(\log_{\small{\frac{1}{2}}}x^2)^2-\log_{\small{\frac{1}{2}}}(8x^{1-a})+a-8$ $(1\leqq x\leqq4)$

と定める。$t=\log_{\small{\frac{1}{2}}}x$ とおくとき，以下の問いに答えなさい。

(1) $f(x)$ を $t$ を用いて表しなさい。

(2) $1\leqq x\leqq4$ のとき，$t$ の値の範囲を求めなさい。

(3) 次の条件（＊）をみたす $a$ の値の範囲を求めなさい。

（＊）$1\leqq x\leqq4$ のとき，$f(x)<0$ である。

対数関数の整理

(1)から始めます。

$f(x)=\cfrac{1}{4}(2\log_{\small{\frac{1}{2}}}x)^2-(\log_{\small{\frac{1}{2}}}8+\log_{\small{\frac{1}{2}}}x^{1-a})+a-8$

次に，$\log_{\small{\frac{1}{2}}}8$ の値を考えてみましょう。これは，$\cfrac{1}{2}$ を何乗したら 8 になる？ということです。

よって

$=\cfrac{1}{4}(2t)^2-\{-3+(1-a)\log_{\small{\frac{1}{2}}}x\}+a-8$
$=t^2+3-(1-a)t+a-8$
$=t^2-(1-a)t+a-5$　（答え）

t の範囲を求める

(2)に進みます。

$\log_{\small{\frac{1}{2}}}1=0$
$\log_{\small{\frac{1}{2}}}4=-2$

したがって

$-2\leqq t\leqq0$　　（答え）

値が負になる場合を考える

(3)に進みます。

$f(x)$ は下に凸のグラフなので，$f(1)<0$ かつ $f(4)<0$ であれば，$1\leqq x\leqq4$ の区間において，$f(x)$ はつねに負の値であると言えます。

(1) より $f(x)=t^2-(1-a)t+a-5$ とする。

(2)より，$x=1$ のとき $t=0$ だから

$f(1)=a-5<0$
$a<5$

また

$x=4$ のとき $t=-2$ だから

$f(4)=(-2)^2-(1-a)(-2)+a-5$
$=4+2-2a+a-5$
$=-a+1$
$-a+1<0$
$a>1$

したがって

$1<a<5$　（答え）