数列の漸化式と図形，n を媒介変数として考える問題(東京都立大2020文系第2問)

次の条件によって定まる数列 $\{x_n\}$，$\{y_n\}$ について考える。

$x_1=\cfrac{1}{2}$，$y_1=0$，$\begin{cases}x_{n+1}=3x_n-2y_n\\y_{n+1}=2x_n-y_n\end{cases}$　$(n=1,2,3,\cdots)$

以下の問いに答えなさい。

(1) $x_n-y_n$　$(n=1,2,3,\cdots)$ を求めなさい。

(2) 数列 $\{x_n\}$，$\{y_n\}$ の一般項を求めなさい。

(3) 座標平面上の点 $\Big(\cfrac{19}{2},19\Big)$ を中心とする半径 $2\sqrt{17}$ の円の内部を $U$ とする。ただし，$U$ は境界線を含まないとする。点 $(x_n,y_n)$ が $U$ に含まれるような自然数 $n$ をすべて求めなさい。

式どうしを引き算する

(1)から始めます。

$x_{n+1}=3x_n-2y_n$　・・・①
$y_{n+1}=2x_n-y_n$　・・・②

①－②
$x_{n+1}-y_{n+1}=x_n-y_n$

$x_1=\cfrac{1}{2}$，$y_1=0$　より

$x_n-y_n=\cfrac{1}{2}-0=\cfrac{1}{2}$　（答え）

一般項を求める

(2)に進みます。

$x_n-y_n=\cfrac{1}{2}$　・・・③ として

$y_n=x_n-\cfrac{1}{2}$

①に代入して

$x_{n+1}=3x_n-2\Big(x_n-\cfrac{1}{2}\Big)$
$=3x_n-2x_n+1$
$=x_n+1$

よって，$x_n$ は初項 $\cfrac{1}{2}$，公差 1 の等差数列

初項を $a$，公差を $d$ とすると，等差数列の一般項は

$a_n=a+(n-1)d$

一般項は

$x_n=\cfrac{1}{2}+(n-1)\cdot1$
$=\cfrac{1}{2}+n-1$
$=n-\cfrac{1}{2}$

また，③より

$x_n=y_n+\cfrac{1}{2}$

②に代入して

$y_{n+1}=2\Big(y_n+\cfrac{1}{2}\Big)-y_n$
$=2y_n+1-y_n$
$=y_n+1$

よって，$y_n$ は初項 $0$，公差 $1$ の等差数列

一般項は

$y_n=0+(n-1)\cdot1$
$=n-1$

したがって

$\begin{cases}x_n=n-\cfrac{1}{2}\\y_n=n-1\end{cases}$

（答え）

n を媒介変数として考える

(3)に進みます。

円の内部を表す式は

$\Big(x-\cfrac{19}{2}\Big)^2+(y-19)^2<(2\sqrt{17})^2$

ここに，$x=x_n$，$y=y_n$ を代入します。

$\Big(n-\cfrac{1}{2}-\cfrac{19}{2}\Big)^2+(n-1-19)^2<68$
$n^2-20n+100+n^2-40n+400-68<0$
$2n^2-60n+432<0$
$n^2-30n+216<0$
$(n-12)(n-18)<0$

したがって
$n=13,14,15,16,17$　（答え）