数列の法則性を考える―かたまりを0として消去する(東京都立大2018理系第2問)

数列 $\{a_n\}$ は
$a_{n+1}=\begin{cases}-a_n (a_n<0\space{\textsf{のとき}})\\a_n-1(a_n\geqq0\space\textsf{のとき})\end{cases}$
をみたしているとする。以下の問いに答えなさい。（東京都立大2018）
(1) $a_1=\cfrac{9}{4}$ であるとき，$a_7$ の値を求めなさい。
(2) $a_1=4$ であるとき，$\displaystyle\sum_{i=1}^{40}a_i$ の値を求めなさい。
(3) $0\leqq a_1\leqq1$ であり，かつ $\displaystyle\sum_{i=1}^{22}a_i=0$ をみたすとき，$a_1$ の値を求めなさい。

順番に求める

(1)から始めます。ここは順番に 7 番目まで求めていきます。

$a_1$ は 0 以上なので 1 を引いていきます。
$a_2=a_1-1=\cfrac{9}{4}-1=\cfrac{5}{4}$
$a_3=a_2-1=\cfrac{5}{4}-1=\cfrac{1}{4}$
$a_4=a_3-1=\cfrac{1}{4}-1=-\cfrac{3}{4}$
ここで，値がマイナスになったので符号を逆にします。
$a_5=-a_4=\cfrac{3}{4}$

$a_6=a_5-1=\cfrac{3}{4}-1=-\cfrac{1}{4}$
$a_7=\cfrac{1}{4}$　（答え）

数列の法則性を利用する

(2)に進みます。
このままではどうしようもないので，とりあえず $a_2$ 以降を求めてみます。(1)で行った通りに計算を進めていきます。
$a_1=4$
$a_2=3$
$a_3=2$
$a_4=1$
$a_5=0$
$a_6=-1$
$a_7=1$
$a_8=0$
$a_9=-1$
$a_{10}=1$

つまり，$a_4+a_5+a_6=1+0+(-1)=0$ となります。同様に $a_7+a_8+a_9=0$ となり，あとはこれを繰り返していきます。こうして，3 つのかたまりを 0 として消去できることになります。
よって
$\displaystyle\sum_{i=1}^{40}a_i$
$=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{40}$
0 となる部分を消去すると
$=a_1+a_2+a_{39}+a_{40}$
$a_3$ 以降の数列は 1，0，－1 の繰り返しなので，$a_{38}=-1$ となるはずです。よって，$a_{39}=1$，$a_{40}=0$ となります。
$=4+3+2+1+0=10$　（答え）

さらに規則性を考える

(3)に進みます。
$0\leqq a_1\leqq1$ となっていますが，このままでは計算できないので，いったん $a_1=k$ $(0\leqq k\leqq1)$ としてみます。
$a_1=k$
$a_2=k-1$
ここで，$0\leqq k\leqq1$ より $k-1$ は負の数です。よって，次の値は符号を逆にします。
$a_3=1-k$
この数は 0 以上だから，次は 1 を引きます。
$a_4=1-k-1=-k$
$a_5=k$
ここで，再び $k$ に戻ったので，あとは同じ作業の繰り返しです。つまり，$k,k-1,1-k,-k$ を一つのかたまりとして考えることができます。これらを合計すると
$k+k-1+1-k-k=0$
4 つのかたまりは 0 になるので，消去できます。
$\displaystyle\sum_{i=1}^{22}a_i$
$=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{22}$
かたまりを消去すると
$=a_{21}+a_{22}$
$=k+k-1=2k-1$
よって　$\displaystyle\sum_{i=1}^{22}a_i=0$ は
$2k-1=0$
$k=\cfrac{1}{2}$
$a_1=\cfrac{1}{2}$

$a_1=0$ のとき
$a_2=-1$
$a_3=1$
$a_4=0$
$a_5=-1$
$a_6=1$

よって
$\displaystyle\sum_{i=1}^{22}a_i$
$=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{22}$
かたまりを消去すると
$=a_1+a_2+a_{21}+a_{22}$
$=0-1+1+0$
$=0$
よって $a_1=0$ は $\displaystyle\sum_{i=1}^{22}a_i=0$ を満たす。
したがって
$a_1=0,\space\cfrac{1}{2}$ （答え）