数学的帰納法の書き方 やってることは理科の実験と同じ

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数列 $\{a_n\}$ は

$$\displaystyle a_1=2,\space a_{n+1}=\frac{2a_n+2}{a_n+2}\space(n=1,2,3,\cdots)$$

で定められているとする。$n$ が自然数のとき、数学的帰納法を用いて $\sqrt{2}<a_n$ を示せ。（香川大・改）

基本的な書き方

帰納法の書き方に従って証明する

$\sqrt{2}<a_n$ を(A)とする。

[1] $n=1$ のとき
$a_1=2$ だから、$\sqrt{2}<a_1$
よって、$n=1$ のとき(A)が成り立つ。

[2] $n=k$ のとき(A)が成り立つと仮定して、
$n=k+1$ のとき
$\displaystyle a_{k+1}=\frac{2a_k+2}{a_k+2}$
$\displaystyle a_{k+1}=\frac{2(a_k+2)-2}{a_k+2}$

$\displaystyle a_{k+1}=2-\frac{2}{a_k+2}$

では、ここから仮定である $\sqrt{2}<a_n$ を使って、$a_{k+1}$ でも不等式が成り立つかどうか実験してみましょう。

$\sqrt{2}<a_k$
ここから、$\displaystyle a_{k+1}=2-\frac{2}{a_k+2}$ を意識して式変形していきます。
$\sqrt{2}+2<a_k+2$
$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}+2}>\frac{1}{a_k+2}$
$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2}+2}>\frac{2}{a_k+2}$

$\displaystyle -\frac{2}{\sqrt{2}+2}<-\frac{2}{a_k+2}$

$\displaystyle 2-\frac{2}{\sqrt{2}+2}<2-\frac{2}{a_k+2}$

$\displaystyle a_{k+1}=2-\frac{2}{a_k+2}$ だったので
$\displaystyle 2-\frac{2}{\sqrt{2}+2}<a_{k+1}$　 
$\displaystyle \frac{2\sqrt{2}+4-2}{\sqrt{2}+2}<a_{k+1}$
$\displaystyle \frac{2\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}+2}<a_{k+1}$
$\displaystyle \frac{2(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-2)}{(\sqrt{2}+2)(\sqrt{2}-2)}<a_{k+1}$
$\displaystyle \frac{2(2-2\sqrt{2}+\sqrt{2}-2)}{2-4}<a_{k+1}$
$\displaystyle \frac{-2\sqrt{2}}{-2}<a_{k+1}$
$\displaystyle \sqrt{2}<a_{k+1}$
よって、$n=k+1$ のときも(A)が成り立つ。

[1]、[2]より、すべての自然数 $n$ について(A)が成り立つ。