【数IIB指数対数関数】指数対数関数の式変形の実戦問題(北海道大2021理系第3問)

正の実数 $x,y$ が，方程式

$\cfrac{9^{4x}+9^{y^2+1}}{6}=3^{4x+y^2}$ ・・・（＊）

を満たすとする。

(1) $y^2$ を $x$ を用いて表せ。

(2) 正の実数 $x,y$ が（＊）および $1-\cfrac{x}{y}>0$ を満たしながら動くとき，
$\cfrac{1}{\log_{1+\frac{x}{y}}4}+\cfrac{1}{\log_{1-\frac{x}{y}}4}$
の最大値を求めよ。

指数関数の式変形

(1)から始めます。

$9^{4x}+9^{y^2+1}=6\cdot3^{4x+y^2}$

$9=3^2$，$6=2\cdot3^1$ だから

$(3^{4x})^2+(3^{y^2+1})^2=2\cdot3^{4x+y^2+1}$
$(3^{4x})^2-2\cdot3^{4x+y^2+1}+(3^{y^2+1})^2=0$

因数分解の公式 $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$ より

$(3^{4x}-3^{y^2+1})^2=0$
$3^{4x}-3^{y^2+1}=0$
$3^{y^2+1}=3^{4x}$

ここで，$3^a=3^b$ なら $a=b$ が成り立ちます。

$y^2+1=4x$
$y^2=4x-1$　（答え）

対数の変形

$\cfrac{1}{\log_{1+\frac{x}{y}}4}+\cfrac{1}{\log_{1-\frac{x}{y}}4}$

ここは，底の変換公式を使いましょう。

$\log_a b=\cfrac{\log_c b}{\log_c a}$

底を 4 とすると，$\log_4 4=1$ となり，式が整理できます。

$=\cfrac{1}{\cfrac{\log_4 4}{\log_4\Big(1+\cfrac{x}{y}\Big)}}+\cfrac{1}{\cfrac{\log_4 4}{\log_4\Big(1-\cfrac{x}{y}\Big)}}$
$=\log_4\Big(1+\cfrac{x}{y}\Big)+\log_4\Big(1-\cfrac{x}{y}\Big)$

公式 $\log_a M+\log_a N=\log_a MN$ より

$=\log_4\Big(1+\cfrac{x}{y}\Big)\Big(1-\cfrac{x}{y}\Big)$
$=\log_4\Big(1-\cfrac{x^2}{y^2}\Big)$

ここで，$1-\cfrac{x^2}{y^2}$ が最大のときに $\log_4\Big(1-\cfrac{x^2}{y^2}\Big)$ は最大になります。

また，$\cfrac{x^2}{y^2}$ が最小のときに $1-\cfrac{x^2}{y^2}$ が最大になります。

よって，$\cfrac{x^2}{y^2}$ の最小値を考えてみましょう。

$y^2=4x-1$ より

$4x=y^2+1$
$x=\cfrac{y^2+1}{4}$
$x^2=\cfrac{y^4+2y^2+1}{16}$

よって

$\cfrac{x^2}{y^2}=\cfrac{y^4+2y^2+1}{16y^2}$
$=\cfrac{y^2+2+\cfrac{1}{y^2}}{16}$

相加相乗平均より

$y^2+\cfrac{1}{y^2}\geqq2\sqrt{y^2\cdot\cfrac{1}{y^2}}$
$y^2+\cfrac{1}{y^2}\geqq2$

つまり，$y^2+\cfrac{1}{y^2}$ の最小値は 2

$y^2+\cfrac{1}{y^2}=2$ として

$\cfrac{x^2}{y^2}=\cfrac{4}{16}=\cfrac{1}{4}$

よって

$1-\cfrac{x^2}{y^2}=\cfrac{3}{4}$

したがって，最大は

$\log_4\cfrac{3}{4}$ （答え）

$\cfrac{1}{\log_{1+\frac{x}{y}}4}+\cfrac{1}{\log_{1-\frac{x}{y}}4}$
$=\cfrac{1}{\cfrac{\log4}{\log\Big(1+\cfrac{x}{y}\Big)}}+\cfrac{1}{\cfrac{\log4}{\log\Big(1-\cfrac{x}{y}\Big)}}$
$=\cfrac{1}{\log4}\Big\{\log\Big(1+\cfrac{x}{y}\Big)+\log\Big(1-\cfrac{x}{y}\Big)\Big\}$
$=\cfrac{1}{\log4}\log\Big(1-\cfrac{x^2}{y^2}\Big)$

ここで，$\cfrac{x^2}{y^2}$ の最小値を求めると

$f(x)=\cfrac{x^2}{y^2}=\cfrac{x^2}{4x-1}$ $\Big(x\not=\cfrac{1}{4}\Big)$

$y>0$ であることから，$y^2=4x-1$ は $x=\cfrac{1}{4}$ のとき $y=0$ となるので，$x\not=\cfrac{1}{4}$ である。

$\Big(\cfrac{x^2}{4x-1}\Big)’=\cfrac{2x(4x-1)-4x^2}{(4x-1)^2}$
$=\cfrac{4x^2-2x}{(4x-1)^2}$

$\cfrac{4x^2-2x}{(4x-1)^2}=0$ とすると

$4x^2-2x=0$
$2x^2-x=0$
$x(2x-1)=0$
$x=0,\cfrac{1}{2}$

$x>0$ より，$x=\cfrac{1}{2}$

増減表は

$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x&(0)&\cdots&\frac{1}{2}&\cdots\\\hline f'(x)&&-&0&+\\\hline f(x)&&\searrow&&\nearrow\\\hline\end{array}$
$f\Big(\cfrac{1}{2}\Big)=\cfrac{\cfrac{1}{4}}{\space1\space}=\cfrac{1}{4}$

よって

$1-\cfrac{x^2}{y^2}=\cfrac{3}{4}$

したがって，最大は

$\cfrac{1}{\log4}\cdot\log\cfrac{3}{4}$
$=\cfrac{\log\cfrac{3}{4}}{\log4}$
$=\log_4\cfrac{3}{4}$   （答え）