【III微分・極限】式が単調増加であることを利用して不等式を証明する／はさみうちの原理(東京都立大2016理学部第2問)

$n$ を自然数とし，

$h(x)=x-n\log x$

とおく。ただし，$\log x$ は自然対数とする。以下の問いに答えなさい。（東京都立大2016）

(1) $x\geqq2n$ のとき，$h'(x)\geqq\cfrac{1}{2}$ が成り立つことを示しなさい。ただし，$h'(x)$ は $h(x)$ の導関数とする。

(2) $x\geqq2n$ のとき，$h(x)-h(2n)\geqq\cfrac{1}{2}(x-2n)$ が成り立つことを示しなさい。

(3) $x\geqq2n$ かつ $x\geqq2n-2h(2n)$ のとき，$h(x)\geqq0$ が成り立つことを示しなさい。

(4) (3)を利用して $\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\cfrac{x^{n-1}}{e^x}=0$ が成り立つことを示しなさい。ただし，$e$ は自然対数の底とする。

自然対数の微分

(1)から始めます。自然対数の微分は公式として暗記しましょう。

$h(x)=x-n\log x$ より

$h'(x)=1-\cfrac{n}{x}$

このままでは証明できないので，問題文の条件 $x\geqq2n$ を変形して $1-\cfrac{n}{x}$ の形にしてみることを考えます。

$x\geqq2n$
$1\geqq\cfrac{2n}{x}$
$\cfrac{n}{x}\leqq\cfrac{1}{2}$
$-\cfrac{n}{x}\geqq-\cfrac{1}{2}$
$1-\cfrac{n}{x}\geqq\cfrac{1}{2}$

$h'(x)\geqq\cfrac{1}{2}$　（証明終わり）

式が単調増加であることを示す

(2)に進みます。

不等式の証明するときには，右辺を 0 として，左辺が正の数または負の数であることを示す方法が一般的です。

$h(x)-h(2n)\geqq\cfrac{1}{2}(x-2n)$

右辺を移項して

$x-n\log x-2n+n\log2n-\cfrac{1}{2}(x-2n)$ とすると

$=\cfrac{1}{2}x-n\log x-n+n\log 2n$

関数がどのようなグラフになるかを考えるときは，微分して増減表を書いてみるのがセオリーです。微分してみましょう。

$f(x)=\cfrac{1}{2}x-n\log x-n+n\log 2n$ として

$f'(x)=\cfrac{1}{2}-\cfrac{n}{x}$

(1)より

$1-\cfrac{n}{x}\geqq\cfrac{1}{2}$

$\cfrac{1}{2}-\cfrac{n}{x}\geqq0$

$f'(x)\geqq0$

増減表は

$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&2&\cdots\\\hline f'(x)&+&+\\\hline f(x)&0&\nearrow\\\hline\end{array}$

$x\geqq2n$ だから，$x$ が 2 のとき，あてはまる自然数 $n$ は 1 のみです。よって

$f(2)=1-\log 2-1+\log 2=0$

これで，$x$ が 2 以上のときに，関数がつねに正の数であることが示されました。

したがって

$h(x)-h(2n)\geqq\cfrac{1}{2}(x-2n)$

（証明終わり）

不等式の証明

(3)に進みます。

ここは次の(4)のための準備作業なので，さっさと解決しましょう。

(2)より

$h(x)-h(2n)\geqq\cfrac{1}{2}(x-2n)$

移項して

$h(x)\geqq\cfrac{1}{2}(x-2n)+h(2n)$
$h(x)\geqq\cfrac{1}{2}x-n+h(2n)$ ・・・①

また，$x\geqq2n-2h(2n)$ より

$\cfrac{1}{2}x\geqq n-h(2n)$

移項して

$\cfrac{1}{2}x-n+h(2n)\geqq0$ ・・・②

①，②より

$h(x)\geqq0$

（証明終わり）

はさみうちの原理で極限を求める

(4)に進みます。(3)を利用して，とあるので，(3)を確認しましょう。

$h(x)=x-n\log x\geqq0$

移項して

$x\geqq n\log x$
$x\geqq\log x^n$

ここで，左辺の $x$ を対数の式に変換します。$x=\log e^x$ となるので

$\log e^x\geqq\log x^n$
$e^x\geqq x^n$
$1\geqq\cfrac{x^n}{2^x}$
$\cfrac{1}{x}\geqq\cfrac{x^{n-1}}{e^x}$

$x\geqq2n$ より $x$ は正の数だから $x^{n-1}$ は正の数です。よって

$0\leqq\cfrac{x^{n-1}}{e^x}\leqq\cfrac{1}{x}$

はさみうちの原理より

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}0\leqq\lim_{x\rightarrow\infty}\cfrac{x^{n-1}}{e^x}\leqq\lim_{x\rightarrow\infty}\cfrac{1}{x}$
$\displaystyle0\leqq\lim_{x\rightarrow\infty}\cfrac{x^{n-1}}{e^x}\leqq0$

したがって

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\cfrac{x^{n-1}}{e^x}=0$

（証明終わり）