数III 高校数学の解法

【数Ⅲ積分】sin×cos の積分が解けない 積を和に直して解決

学校の先生が和積の公式は暗記しなくていいって言ってたんですけど、やり方忘れました。というか、答え見ないといつ使うか分からないです。

加法定理から作るよ。説明するからやり方マスターしてね。

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sin の加法定理から積ー和に変換

$\displaystyle\int \sin 2x\cos x dx$

かけ算の式を積分するとき、普通どうする?

部分積分?

それそれ。でもここで部分積分やると失敗する。

$\displaystyle\int\sin 2x(\sin x)’dx\\\displaystyle=\sin 2x\sin x-\int2\cos 2x\sin x dx$

積分のとこ、消えないです。

ここが約分とかで整理できるといけるんだけどね。部分積分だと失敗。そこで、別の作戦で三角関数どうしのかけ算のときは、足し算に直すといけるときがあるってのを思い出すとよい。

和積ですね。

そうそう。和積ってまず加法定理使うんだけど、$\sin\times\cos$ が出てくるのどっちの公式?

$\sin$ です。

$\sin$ の加法定理
$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$

とりあえず加法定理の式をつくるよ。

$\sin(2x+x)=\sin2x\cos x+\cos 2x\sin x$

このようにして、$\sin 2x\cos x$ の形をいったん作ります。しかし、これでは $\cos 2x\sin x$ の部分がジャマです。

そこで引き算の式を作って消去。

$\sin(2x+x)=\sin2x\cos x+\cos 2x\sin x\cdots\text{①}\\\sin(2x-x)=\sin2x\cos x-\cos 2x\sin x\cdots\text{②}$

①+② より

$\sin(2x+x)+\sin(2x-x)=2\sin 2x\cos x\\\displaystyle\frac{1}{2}\{\sin 3x+\sin x\}=\sin 2x\cos x$

これで、変換終了。

あとは、もとの式を置きかえて計算していきます。

$\displaystyle\int\sin 2x\sin xdx\\\displaystyle=\frac{1}{2}\int \sin 3x+\sin x\enspace dx\\\displaystyle=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\cos 3x-\cos x\right)+C\\\displaystyle=-\frac{1}{6}\cos 3x-\frac{1}{2}\cos x+C$

① $\sin\times\cos$ なら $\sin$ の加法定理。
② 足し算・引き算で式を2つ作って
③ いらない部分を消去

手順覚えないといけないけど、公式覚えるよりははるかにマシ。

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cos の加法定理から積ー和に変換

$\displaystyle\int\sin 3x\sin 5xdx$

ここで、$\sin\sin$ が出てくる加法定理は?

$\cos$ の方です。

いったん、$\cos$ の加法定理を作ります。

$\cos(3x+5x)=\cos 3x\cos 5x-\sin 3x\sin5x$

ここでもやはり$\cos 3x\cos 5x$ がジャマなので、式をもう一つ作って消去します。

$\cos(3x+5x)=\cos 3x\cos 5x-\sin 3x\sin5x\cdots\text{①}\\\cos(3x-5x)=\cos 3x\cos 5x+\sin 3x\sin5x\cdots\text{②}$

①-② より

$\cos(3x+5x)-\cos(3x-5x)=-2\sin3x\sin5x\\\displaystyle-\frac{1}{2}\left\{\cos8x-\cos(-2x)\right\}=\sin3x\sin5x$

ここで、$\cos(-2x)=\cos2x$

はい、来た。苦手なヤツ。

考え方としてはこんな感じ。$\cos$ は $\displaystyle\frac{底辺}{斜辺}$ だから、図を見たら、$\theta$ でも $-\theta$ でも斜辺と底辺は同じでしょ?だから、$\cos(-\theta)=\cos\theta$ が成り立つ。

よって、

$\displaystyle-\frac{1}{2}\left\{\cos8x-\cos(-2x)\right\}=\sin3x\sin5x\\\displaystyle-\frac{1}{2}\left\{\cos8x-\cos2x\right\}=\sin3x\sin5x$

これをもとの式に戻すと

$\displaystyle -\frac{1}{2}\int\cos8x-\cos2x\enspace dx\\\displaystyle=-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{8}\sin8x-\frac{1}{2}\sin2x\right)+C\\\displaystyle=-\frac{1}{16}\sin8x+\frac{1}{4}\sin2x+C$

(答え)

和積を使うと半角の公式が作れる

和積の公式って入試で役に立ちますか?

正直言うと、地方国公立レベルで言うとビミョー。でも、式同士を足したり引いたりしていらない部分を消すっていうテクニック自体は知っておいたほうがいいと思うよ。式変形の手がかりになるから。

あと、これ使って半角の公式が導出できるの。入試では公式の導出って中堅レベルの大学の方がむしろ聞いてくることあるから、知ってたほうがいいかも。

どうやって作るんですか?

半角の公式って、$\displaystyle\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}$ だったよね。これを導出してみるよ。

かけ算を足し算になおす、が今回の話です。そこで $\sin^2x=\sin x\sin x$ として考えましょう。

$\sin^2x=\sin x\sin x$ より

$\cos(x+x)=\cos x\cos x-\sin x\sin x\cdots\text{①}\\\cos(x-x)=\cos x\cos x+\sin x\sin x\cdots\text{②}$

①-② より

$\cos 2x-\cos 0=-2\sin x\sin x\\\cos 2x-1=-2\sin^2 x\\\displaystyle\sin^2 x=\frac{1-\cos2x}{2}$

公式できた!

そうね。数学って一見無駄に見える知識が次の発見につながる。それを経験すると数学って楽しくなると思うよ。がんばって。

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