数III 高校数学の解法

1/1+x^2 型の積分 tan に置きかえる

$$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1+x^2}\space dx$$

んー、これ $\sin$ 置換ですかね?

そうそう、三角関数。でも今回は $\tan$ に置きかえ。

どう違うんですか?

$1-x^2$ みたいに引き算なら $\sin$ だし、$1+x^2$ みたいに足し算なら $\tan$ でいけるっていうイメージを持っておく。使う公式がそういう形になってるからね。

$1-x^2$  $1-\sin^2 x=\cos^2 x$
$1+x^2$  $\displaystyle 1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}$

あと $\tan$ の微分の公式もおさらい

$\displaystyle (\tan x)’=\frac{1}{\cos^2 x}$
ad

$\tan$ に置きかえ1

$$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1+x^2}\space dx$$
$x=\tan t$ とおくと
$\displaystyle dx=\frac{1}{\cos^2 t}\space dt$
$x\space 0\rightarrow \frac{\pi}{4}$
$t\space 0\rightarrow 1$
$\displaystyle =\int_0^1 \frac{1}{1+\tan^2 t}\cdot \frac{1}{\cos^2 t}\space dt$
$\displaystyle =\int_0^1 \frac{1}{\frac{1}{\cos^2 t}}\cdot \frac{1}{\cos^2 t}\space dt$
$\displaystyle =\int_0^1 \cos^2 t\cdot \frac{1}{\cos^2 t}\space dt$
$\displaystyle =\int_0^1 \space dt$

この式は $\displaystyle =\int_0^1 1 \space dt$ っていう意味だからね。

$\displaystyle =\left[t\right]_0^1$
$=1$(答え)

ad

$\tan$ に置きかえ2

$$\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{3+x^2}\space dx$$

今度は $\sqrt{3}\tan$ で置きかえ。

2乗して $3$ になる数だっけ?

それそれ。$3+\tan^2$ だと公式使えないから、$3+3\tan^2$ にして $3$ をカッコの外に追い出す流れ。

$x=\sqrt{3}\tan t$ とおくと
$\displaystyle dx=\frac{\sqrt{3}}{\cos^2 t}\space dt$
$x\space 0\rightarrow 1$
$t\space 0\rightarrow \frac{\pi}{6}$
$\displaystyle =\int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{3+3\tan^2 t}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\cos^2 t}\space dt$
$\displaystyle =\int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{3(1+\tan^2 t)}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\cos^2 t}\space dt$
$\displaystyle =\int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{\frac{3}{\cos^2 t}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\cos^2 t}\space dt$
$\displaystyle =\int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{\cos^2 t}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\cos^2 t}\space dt$
$\displaystyle =\int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{\sqrt{3}}{3}\space dt$
$\displaystyle =\left[\frac{\sqrt{3}}{3}t\right]_0^{\frac{\pi}{6}}$
$\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{\pi}{6}$
$\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{18}\pi$(答え)

ad

$\tan$ に置きかえ3

最後にもう一つのパターンもやっとく。

$$\displaystyle \int_1^4 \frac{dx}{x^2-2x+4}$$

これも $\tan$ 置換?

そうよ。最初に平方完成するの。

分母を平方完成すると
$x^2-2x+4=(x^2-2x)+4$
$=(x-1)^2-1+4=(x-1)^2+3$
となるので
$\displaystyle =\int_1^4 \frac{dx}{(x-1)^2+3}$

公式の形に近づいてきたよね。さっきは $x$ を置換したけど今度は $x-1$ を置換する。

$x-1=\sqrt{3}\tan t$ とおくと
$\displaystyle dx=\frac{\sqrt{3}}{\cos^2 t}\space dt$
$x\space 1\rightarrow 4$
$t\space 0\rightarrow \frac{\pi}{3}$
$\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{3} \frac{1}{3+3\tan^2 t}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\cos^2 t}\space dt$

あとはさっきの問題と同じ流れだから途中式省略するよ。

$\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{9}\pi$(答え)

分母に2次式きたら平方完成でいけるかもってのを思い出して。

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