1/1+x^2 型の積分 tan に置きかえる
$$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1+x^2}\space dx$$
んー、これ $\sin$ 置換ですかね？
そうそう、三角関数。でも今回は $\tan$ に置きかえ。
どう違うんですか？
$1-x^2$ みたいに引き算なら $\sin$ だし、$1+x^2$ みたいに足し算なら $\tan$ でいけるっていうイメージを持っておく。使う公式がそういう形になってるからね。
$1-x^2$ $1-\sin^2 x=\cos^2 x$
$1+x^2$ $\displaystyle 1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}$
あと $\tan$ の微分の公式もおさらい
$\displaystyle (\tan x)’=\frac{1}{\cos^2 x}$
$\tan$ に置きかえ１
$$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1+x^2}\space dx$$
$x=\tan t$ とおくと
$\displaystyle dx=\frac{1}{\cos^2 t}\space dt$
$x\space 0\rightarrow \frac{\pi}{4}$
$t\space 0\rightarrow 1$
$\displaystyle =\int_0^1 \frac{1}{1+\tan^2 t}\cdot \frac{1}{\cos^2 t}\space dt$
$\displaystyle =\int_0^1 \frac{1}{\frac{1}{\cos^2 t}}\cdot \frac{1}{\cos^2 t}\space dt$
$\displaystyle =\int_0^1 \cos^2 t\cdot \frac{1}{\cos^2 t}\space dt$
$\displaystyle =\int_0^1 \space dt$
この式は $\displaystyle =\int_0^1 1 \space dt$ っていう意味だからね。
$\displaystyle =\left[t\right]_0^1$
$=1$（答え）
$\tan$ に置きかえ2
$$\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{3+x^2}\space dx$$
今度は $\sqrt{3}\tan$ で置きかえ。
2乗して $3$ になる数だっけ？
それそれ。$3+\tan^2$ だと公式使えないから、$3+3\tan^2$ にして $3$ をカッコの外に追い出す流れ。
$x=\sqrt{3}\tan t$ とおくと
$\displaystyle dx=\frac{\sqrt{3}}{\cos^2 t}\space dt$
$x\space 0\rightarrow 1$
$t\space 0\rightarrow \frac{\pi}{6}$
$\displaystyle =\int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{3+3\tan^2 t}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\cos^2 t}\space dt$
$\displaystyle =\int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{3(1+\tan^2 t)}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\cos^2 t}\space dt$
$\displaystyle =\int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{\frac{3}{\cos^2 t}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\cos^2 t}\space dt$
$\displaystyle =\int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{\cos^2 t}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\cos^2 t}\space dt$
$\displaystyle =\int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{\sqrt{3}}{3}\space dt$
$\displaystyle =\left[\frac{\sqrt{3}}{3}t\right]_0^{\frac{\pi}{6}}$
$\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{\pi}{6}$
$\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{18}\pi$（答え）
$\tan$ に置きかえ3
最後にもう一つのパターンもやっとく。
$$\displaystyle \int_1^4 \frac{dx}{x^2-2x+4}$$
これも $\tan$ 置換？
そうよ。最初に平方完成するの。
分母を平方完成すると
$x^2-2x+4=(x^2-2x)+4$
$=(x-1)^2-1+4=(x-1)^2+3$
となるので
$\displaystyle =\int_1^4 \frac{dx}{(x-1)^2+3}$
公式の形に近づいてきたよね。さっきは $x$ を置換したけど今度は $x-1$ を置換する。
$x-1=\sqrt{3}\tan t$ とおくと
$\displaystyle dx=\frac{\sqrt{3}}{\cos^2 t}\space dt$
$x\space 1\rightarrow 4$
$t\space 0\rightarrow \frac{\pi}{3}$
$\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{3} \frac{1}{3+3\tan^2 t}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\cos^2 t}\space dt$
あとはさっきの問題と同じ流れだから途中式省略するよ。
$\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{9}\pi$（答え）
分母に２次式きたら平方完成でいけるかもってのを思い出して。
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