数III 高校数学の解法

【数III】無理関数 √1-x^2 型の積分 sin に置きかえ

今回は無理関数の積分パターンを学習するよ。

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$\sin$ に置きかえる1

$\displaystyle\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\space dx$

こういう形がきたら、$\sin$ に置きかえる。

$x=\sin t$ とおくと
$dx=\cos t\space dt$
$x\space 0\rightarrow 1$
$\displaystyle t\space 0\rightarrow\frac{\pi}{2}$
$\displaystyle=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-\sin^2 t}\cdot\cos t\space dt$
$\displaystyle=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos t\cdot\cos t\space dt$
$\displaystyle=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2 t\space dt$

積分では $\sin^2$ とか $\cos^2$ がきたら半角の公式だから、ここはすぐに反応できるようにね。

半角の公式 $\displaystyle \cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}$

$\displaystyle=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\cos 2t}{2}\space dt$
$\displaystyle=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}1+\cos 2t\space dt$
$\displaystyle=\frac{1}{2}\left[t+\frac{1}{2}\sin 2t\right]_0^\frac{\pi}{2}$
$\displaystyle=\frac{1}{2}\left\{\left(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\cdot0\right)-(0+0)\right\}$
$\displaystyle=\frac{\pi}{4}$(答え)

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$\sin$ に置きかえる2

$\displaystyle\int_0^2 \sqrt{4-x^2}\space dx$

$x$ を $\sin$ に置きかえですよね?

そうなんだけど、$2\sin$ にしてね。

何で今度は $2$ がつくの?

$2$ を 2乗したら $4$ になるから。

実際に計算してみると何をしたいのかが分かります。
$x=2\sin t$ とおくと
$dx=2\cos t\space dt$
$x\space 0\rightarrow 2$
$\displaystyle t\space 0\rightarrow\frac{\pi}{2}$
$\displaystyle=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{4-4\sin^2 t}\cdot 2\cos t\space dt$
$\displaystyle=\int_0^{\frac{\pi}{2}} 2\sqrt{1-\sin^2 t}\cdot 2\cos t\space dt$
$\displaystyle=\int_0^{\frac{\pi}{2}} 2\cos t\cdot 2\cos t\space dt$

公式 $\sin^2 x+\cos^2 x=1$
だから $1-\sin^2 x=\cos^2 x$

つまり、$\sqrt{1-\sin^2 t}$ の形になって初めて $\cos t$ に変換できるわけじゃない?$\sqrt{4-\sin^2 t}$ だったらそこから何もできなくなる。

$2\sin$ にしたら 2乗して $4$ になるから、$4$ をルートの外に出せるわけか。

そういうこと。ここでは 2乗して $4$ になる数を考えて $2\sin t$ に置きかえれば良い。

$\displaystyle=4\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t\space dt$
$\displaystyle=4\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos 2t}{2}\space dt$
$\displaystyle=2\int_0^{\frac{\pi}{2}} 1+\cos 2t\space dt$
$\displaystyle=2\left[t+\frac{1}{2}\sin 2t\right]_0^{\frac{\pi}{2}}$
$\displaystyle=2\left\{\left(\frac{\pi}{2}+0\right)-\left(0+0\right)\right\}$
$=\pi$(答え)

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$\sin$ に置きかえる3

$\displaystyle\int_0^{\sqrt{3}} \sqrt{3-x^2}\space dx$

今度は何で置換する?

2乗して $3$ になる数ってことですよね。じゃあ $\sqrt{3}$。

正解。

$x=\sqrt{3}\sin t$ とおくと
$dx=\sqrt{3}\cos t\space  dt$
$x\space 0\rightarrow \sqrt{3}$
$\displaystyle t\space 0\rightarrow\frac{\pi}{2}$
$\displaystyle =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{3-3\sin^2 t}\cdot\sqrt{3}\cos t\space dt$
$\displaystyle=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{3}\sqrt{1-\sin^2 t}\cdot\sqrt{3}\cos t\space dt$
$\displaystyle=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{3}\cos t\cdot\sqrt{3}\cos t\space dt$
$\displaystyle=3\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t\space dt$
$\displaystyle=\frac{3}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}} 1+\cos 2t\space dt$
$\displaystyle=\frac{3}{2}\left[t+\frac{1}{2}\sin 2t\right]_0^{\frac{\pi}{2}}$
$\displaystyle=\frac{3}{4}\pi$(答え)

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