九州大数IAIIB高校数学の解法

【数A整数、数B数列:合同式使いたくない人向け】整数解を求める方法を使い倒して倍数を求めてみる(九州大)

初項 $a_1=1$、公差 $4$ の等差数列 $\{a_n\}$ を考える。以下の問いに答えよ。
(1) $\{a_n\}$ の初項から第 $600$ 項のうち、$7$ の倍数である項の個数を求めよ。
(2) $\{a_n\}$ の初項から第 $600$ 項のうち、$7^2$ の倍数である項の個数を求めよ。
(3) 初項から第 $n$ 項までの積 $a_1,a_2\cdots a_n$ が $7^{45}$ の倍数となる最小の自然数 $n$ を求めよ。(九州大2017)


参考書とかでは合同式を使うのが定石だけど、ここでは合同式使わなくても整数解を求めるやり方でも解けるよ、っていう話をしていく。とりあえず教科書で整数解を求める方法を復習してからチャレンジしてみて。

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整数解を求める方法で7の倍数になる項を求める

まずは(1)から。等比数列は以下の方法で一般項を求めます。

等差数列の一般項
$a_n=a_1+(n-1)d$ ($a_1$:初項、$d$:公差)

よって
$a_n=1+(n-1)\cdot 4$
$=4n-3$
$a_n$ は $7$ の倍数なので
$4n-3=7k$ (kは整数) とします。
ここから整数解を求める方法で $4n-3$ が $7$ の倍数になる条件を考えます。移項して
$4n-7k=3$
整数解を求める方法ではいった式が成り立つ $n$ と $k$ の値を考えるのでした。$n=-1,k=-1$ とすると $3$ になりそうです。
$4\cdot (-1)-7\cdot (-1)=3$
となります。ここで
$4n-7k=3$
$4\cdot (-1)-7\cdot (-1)=3$
上の式から下の式を引きます。
$4(n+1)-7(k+1)=0$

この操作は右側を $0$ にするのが目的。$3$ を消すことで、$n$ と $k$ の関係を表す式に持ち込むことができるよ。

$4(n+1)=7(k+1)\cdots\text{①}$
$4$ と $7$ は互いに素であるから、$k+1$ は $4$ の倍数である。

互いに素ってのは $\displaystyle\frac{7}{4}$ は約分できないっていう意味。$n$ と $k$ が整数であるっていう前提で考えると、右辺の $7(k+1)$ は $4$ の倍数であると言える。でも $7$ は $4$ の倍数じゃないから、$k+1$ が $4$ の倍数なら式としてイコール関係が成り立つってこと。

$l$ を整数として $k+1=4l$ とすると
$k+1=4l$
$k=4l-1$
①に代入して
$4(n+1)=7(4l-1+1)$
$4(n+1)=28l$
$n+1=7l$
$n=7l-1$
ここで $1\leqq n\leqq 600$ だから
$1\leqq 7l-1\leqq 600$
$2\leqq 7l\leqq 601$
$\displaystyle\frac{2}{7}\leqq l\leqq\frac{601}{7}$
$l$ は整数だから
$1\leqq l\leqq 85$
よって 85個 (答え)

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整数解を求める方法で $7^2$ の倍数になる項を求める

(2) を考えます。$7^2$ の倍数は $7$ の倍数でもあるので (1) の結果を使ってみましょう。

(1) より
$a_n=4n-3$
$a_n=4(7l-1)-3$
$=28l-4-3$
$=28l-7$
$=7(4l-1)$

これは $l$ に数字を代入すると $a_n$ が $7$ の倍数になるっていうこと。

$a_n$ が $7^2$ の倍数のとき $m$ を整数として
$a_n=7^2m$
$7(4l-1)=7^2m$
$4l-1=7m$
$4l-7m=1$
ここで、左辺が $1$ になる $l$ と $m$ の値を考えます。$l=2,m=1$ でうまくいきそうです。
$4\cdot 2-7\cdot 1=1$
よって
$4l-7m=1$
$4\cdot 2-7\cdot 1=1$
上の式から下の式を引くと
$4(l-2)-7(m-1)=0$
$4(l-2)=7(m-1)\cdots\text{①}$
$4$ と $7$ は互いに素であるから、$m-1$ は $4$ の倍数である。$p$ を整数として
$m-1=4p$
①に代入して
$4(l-2)=7\cdot 4p$
$l-2=7p$
$l=7p+2$
(1)より $1\leqq l\leqq 85$ だったので
$1\leqq 7p+2\leqq 85$
$-1\leqq 7p\leqq 83$
$\displaystyle -\frac{1}{7}\leqq p\leqq \frac{83}{7}$
$p$ は整数だから
$0\leqq p \leqq 11$
よって 12個 (答え)

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さらに $7^3$ の倍数になる項を考える

(3)を考えます。

$7^{45}$ とか全然イメージ沸かないです。

$7^{45}$ って $7^3\cdot 7^{42}$ とか $7^3\cdot (7^2)^{21}$ って表すことができるよね。$7$ や $7^2$ の倍数はすでに求めたから、次に$7^3$ の倍数が必要になるってこと。

(2)より
$a_n=7(4l-1)$
$=7\{4(7p+2)-1\}$
$=7(28p+8-1)$
$=7(28p+7)$
$=7^2(4p+1)\enspace(0\leqq p\leqq 11)$
ここで、$7^3$ になる場合を考えると $p=5$ のとき $4p+1=4\cdot 5+1=21$ となり、$a_n$ は $7^3$ の倍数になる。
また
$n=7l-1$
$l=7p+2$
より
$n=7(7p+2)-1$
$=49p+14-1$
$=49p+13$
であり、$p=5$ を代入すると
$n=258$ となる。

つまり、$n=258$ のとき、$a_n$ は $7^3$ の倍数になるってこと。

以上をまとめると
$a_n$ は
$n=7l-1$ のとき $7$ の倍数 $(1\leqq l\leqq 85)$
$n=49p+13$ のとき $7^2$ の倍数 $(0\leqq p\leqq 11)$
$n=258$ のとき $7^3$ の倍数

ようやく整理できた。求めるのは $a_1 a_2 \cdots a_n$。各項を順番にかけていく計算をするとき、$7l-1$ ごとに $7$ が $1$ 個増えるし、$49p+13$ ごとに $7^2$ が 1 個増える。そして $n$ が $258$ になったとき、$n$ が 3個増える、というイメージで考える。

$n=258$ のときを考えると
$258=7l-1$
$l=37$
つまり、第$258$項までの間に $7$ が $37$ 個出てくるということです。つまり、第 $258$ 項までをかけ算すると $7^{37}$ の倍数になると言えそうですが、実際にはそこに $7^2$ と $7^3$ の倍数が出てくるので $37$ 個ではないはずです。

そして、$p=5$ のとき $n=258$ だった。ただ注意しないといけないけど、$p$ の範囲からして $p$ は $0$ から数えるから $6$ 個ってなるからね。つまり、$7^2$ は $6$ か所出てくる。

そして、さらに注意。$7^2$ の倍数になる項は $7$ の倍数になる項でもあるので、$7$ の数を余計に数えてしまうことになります。同様に、$7^3$ の倍数の項は $7$ と $7^2$ の倍数の項でもあるので、その分を割り引いてカウントします。

つまり、$a_1 a_2\cdots a_{258}$ の中には $7$ が $37+6+1=44$ 個含まれる。

そして、$7^{45}$ つまり $7$ が $45$ 個含まれる場合を考える。

さきほど、$l=37$ だったので、次の $l=38$ を考えると
$n=7\cdot 38-1=265$
つまり $a_{265}$ までかけ算したときに $7$ が一つ増えるということです。
また、$p=5$ だったので、次の $p=6$ を考えると
$n=49\cdot 6+13=294$
となり $a_{294}$ までかけ算したときに $7^2$ つまり $7$ が二つ増えます。
$294$ よりも $265$ の方が先に来るので、$a_1 a_2\cdots a_{265}$ のときに $7$ が一つ増えて、$7$ が $45$ 個になります。
よって $n=265$ (答え)

この問題は、各項をかけ算していったときに、どこで $7$ が増えるかを考えるのがポイント。$n=258$ を起点にして最後はつじつま合わせの計算をするから問題を強引に突破する思考力が必要になるからね。

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