数IAIIB東京都立大高校数学の解法

東京都立大2015理系第1問【数IA確率】正六角形の中にできる三角形と確率(基本レベル)

正六角形の中に三角形作るヤツは良くあるパターンだから,練習してね。今回は地道に数を数えるだけ。

点 O を中心とする半径 1 の円に内接している正六角形 ABCDEF がある。A,B,C,D,E,F,O の 7 点から異なる 3 点を同時に選ぶとき,以下の問いに答えなさい。(東京都立大2015)

(1) 選んだ 3 点が一直線上に並ぶ確率を求めなさい。

(2) 選んだ 3 点を結ぶと正三角形ができる確率を求めなさい。

(3) 選んだ 3 点を結ぶと面積が $\cfrac{\sqrt{3}}{3}$ より大きい三角形ができる確率を求めなさい。

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3 点が一直線上に並ぶ確率

(1)から始めます。

7 つの点から 3 点を選ぶので,全事象は

$_7C_3=\cfrac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}=35$

通りです。


図を描いてみると,3 点が一直線上に並ぶ場合は 3 通りあることが分かります。

したがって $\cfrac{3}{35}$(答え)

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正三角形ができる確率

(2)に進みます。

正三角形は小さいの 6 個と大きいの 2 個ができる。大きい三角形,数え忘れに注意。

したがって

$\cfrac{8}{35}$ (答え)

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三角形の面積を求める

(3)に進みます。

まず,(2)で作った小さい正三角形から考えてみましょう。

正三角形を 2 つに分けると,辺の比が $1:2:\sqrt{3}$ の三角形ができます。OA の長さが 1 であることから,他の辺の長さも求められます。

よって,△OABの面積は

$\cfrac{1}{2}\cdot1\cdot\cfrac{\sqrt{3}}{2}=\cfrac{\sqrt{3}}{4}$

となり,条件を満たしません。

次に△ABFを考えてみます。これは同様に△OBFという形も作ることができ,同じ大きさです。

さきほど作った,$1:2:\sqrt{3}$ の関係から,辺の長さを求めて計算しましょう。

$\cfrac{1}{2}\cdot\sqrt{3}\cdot\cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{3}}{4}$

これも条件を満たしません。

次に△ACFが作れます。このとき,∠CAF を考えると辺 CF が円の直径なので,∠CAF=90° であることが分かります。これも,辺の比が $1:2:\sqrt{3}$ の三角形です。面積は

$\cfrac{1}{2}\cdot1\cdot\sqrt{3}=\cfrac{\sqrt{3}}{2}$

これは条件を満たします。

そして,直角の部分が点 A にあるときから,点 F にあるときまで 6 個の三角形が作れます。

また,同様に △ABE という三角形も作れるので,これも同様に 6 個あります。

ここが,数え忘れやすいかも。とにかくいろんなパターン考えてみて。

また,(2)で作った大きな正三角形がありました。面積は

$\cfrac{1}{2}\cdot\sqrt{3}\cdot\cfrac{3}{2}=\cfrac{3\sqrt{3}}{4}$

これは条件を満たします。

考えられる三角形のパターンは以上です。

したがって

$\cfrac{6+6+2}{35}=\cfrac{14}{35}$
$=\cfrac{2}{5}$ (答え)

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