数IAIIB横浜国立大高校数学の解法

横浜国立大2016理系第3問(文系第3問) 三角形の面積比/四面体の面積比

四面体 OABC があり,$\overrightarrow{\text{OA}}=\vec{a},\overrightarrow{\text{OB}}=\vec{b},\overrightarrow{\text{OC}}=\vec{c}$ とする。三角形 ABC の重心を G とする。点 D,E,P を $\overrightarrow{\text{OD}}=2\vec{b}$,$\overrightarrow{\text{OE}}=3\vec{c}$,$\overrightarrow{\text{OP}}=6\overrightarrow{\text{OG}}$ をみたす点とし,平面 ADE と直線 OP の交点を Q とする。次の問いに答えよ。

(1) $\overrightarrow{\text{OQ}}$ を $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ を用いて表せ。

(2) 三角形 ADE の面積を $S_1$,三角形 QDE の面積を $S_2$ とするとき,$\cfrac{S_2}{S_1}$ を求めよ。

(3) 四面体 OADE の体積を $V_1$,四面体 PQDE の体積を $V_2$ とするとき,$\cfrac{V_2}{V_1}$ を求めよ。

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ベクトルを 2 通りで表す

(1)から始めます。

ぜんぜん立体に見えないのは目の錯覚ですかね?

確かに立体のイメージつかみにくいね。問題文見ながら実際に自分で描いてみると四面体が見えてくると思う。

まず,点 Q は平面 ADE 上の点なので 
$\overrightarrow{\text{OQ}}=s\overrightarrow{\text{OA}}+t\overrightarrow{\text{OD}}+u\overrightarrow{\text{OE}}$ $(s+t+u=1)$
$=s\vec{a}+2t\vec{b}+3u\vec{c}$

という式を立てます。

もちろん,この式だけでは何もできないので,次の手を考えます。

次の手が思いつかない。

こういうときは $\overrightarrow{\text{OQ}}$ をもう一つ別な式で表せないかを考えるといいよ。

点 Q は OG の延長線上にあるので

$\overrightarrow{\text{OQ}}=k\overrightarrow{\text{OG}}$

と表すことができます。

そして,点 G は三角形 ABC の重心です。

三角形の重心を G とすると

$\overrightarrow{\text{OG}}=\cfrac{\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OC}}}{3}$

$\overrightarrow{\text{OQ}}=\cfrac{k}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$

ここで 2 つの式を比べると

$\overrightarrow{\text{OQ}}=s\vec{a}+2t\vec{b}+3u\vec{c}$
$\overrightarrow{\text{OQ}}=\cfrac{k}{3}\vec{a}+\cfrac{k}{3}\vec{b}+\cfrac{k}{3}\vec{c}$

$s=2t=3u=\cfrac{k}{3}$

という関係が成り立ちます。ここから

$s=2t$
$t=\cfrac{s}{2}$
$s=3u$
$u=\cfrac{s}{3}$

これを $s+t+u=1$ に代入すると

$s+\cfrac{s}{2}+\cfrac{s}{3}=1$

$6s+3s+2s=6$
$11s=6$
$s=\cfrac{6}{11}$

$s=\cfrac{k}{3}$ だから

$\overrightarrow{\text{OQ}}=\cfrac{6}{11}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$ (答え)

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三角形の面積比

(2)に進みます。

AQ の延長線と DE の交点を R とします。R は DE 上の点だから

$\overrightarrow{\text{AR}}=s\overrightarrow{\text{AD}}+t\overrightarrow{\text{AE}}$ $(s+t=1)$

が成り立ちます。

$\overrightarrow{\text{AR}}=s(2\vec{b}-\vec{a})+t(3\vec{c}-\vec{a})$
$=-(s+t)\vec{a}+2s\vec{b}+3t\vec{c}$

また

$\overrightarrow{\text{AR}}=k\overrightarrow{\text{AQ}}$

$=k\Big\{\cfrac{6}{11}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})-\vec{a}\Big\}$
$=-\cfrac{5}{11}k\vec{a}+\cfrac{6}{11}k\vec{b}+\cfrac{6}{11}k\vec{c}$

式を比べると

$\cfrac{5}{11}=s+t=1$
$k=\cfrac{11}{5}$

よって

$\overrightarrow{\text{AR}}=\cfrac{11}{5}\overrightarrow{\text{AQ}}$

が成り立つので,AQ:QR = 5 : 6

これは三角形の高さの比と等しくなります。底辺の等しい三角形の面積は高さに比例するので

したがって $\cfrac{S_2}{S_1}=\cfrac{6}{11}$ (答え)

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体積の比を求める

(3)に進みます。

(2)より

△QDE = △ADE × $\cfrac{6}{11}$

高さが等しい四面体の体積は低面積に比例するので,四面体 OQDE の体積は四面体 OADE の $\cfrac{6}{11}$ です。

(3) 四面体 OADE の体積を $V_1$,四面体 PQDE の体積を $V_2$ とするとき,$\cfrac{V_2}{V_1}$ を求めよ。

四面体 OQDE と PQDE は底面積が等しく,体積の比は高さの比に等しくなります。そこで,高さの比を求めてみます。

$\overrightarrow{\text{OP}}=6\overrightarrow{\text{OG}}$ より

$\overrightarrow{\text{OP}}=6\cdot\cfrac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$
$=2(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$

(1)より,$\overrightarrow{\text{OQ}}=\cfrac{6}{11}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$ だったので

OQ : OP = $\cfrac{6}{11}$ : 2 = 3 : 11

が成り立ち,これより

OQ : QP = 3 : 8

が成り立ちます。これが四面体の高さの比です。

$V_2=V_1\times\cfrac{6}{11}\times\cfrac{8}{3}$
$=\cfrac{16}{11}V_1$
$\cfrac{V_2}{V_1}=\cfrac{16}{11}$ (答え)

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