三角関数の取りうる値の範囲，t に置き換えて考える(横浜国立大2017文系第１問)

$x$ がすべての実数を動くとき，次の関数の取りうる値の範囲を求めよ。

(1) $f(x)=\sin x-\cos x$

(2) $g(x)=2|\sin^3x-\cos^3x|+\sin x\cos x+\sin x-\cos x$

合成関数

(1)から始めます。ここはセオリー通り合成関数を用いて sin と cos を一つにまとめましょう。

$f(x)=\sin x-\cos x$

$f(x)=\sqrt{2}\sin\Big(x-\cfrac{\pi}{4}\Big)$

$\sin$ の取りうる値は $-1$ から $1$ の間なので

$-\sqrt{2}\leqq f(x)\leqq\sqrt{2}$　（答え）

t に置き換えて考える

(2)に進みます。

まずは公式を用いて因数分解しましょう。

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

$g(x)=2|\sin^3x-\cos^3x|+\sin x\cos x+\sin x-\cos x$
$=2|(\sin x-\cos x)(\sin^2x+\sin x\cos x+\cos^2x)|+\sin x\cos x+\sin x-\cos x$

$=2|(\sin x-\cos x)(1+\sin x\cos x)|+\sin x\cos x+\sin x-\cos x$

$\sin x-\cos x$ は(1)でやったので取りうる値がわかっています。

$\sin x-\cos x=t$ とすると

$(\sin x-\cos x)^2=t^2$
$\sin2^x-2\sin x\cos x+\cos^2 x=t^2$
$1-2\sin x\cos x=t^2$
$\sin x\cos x=\cfrac{1-t^2}{2}$

よって

$g(t)=2\Big|t\Big(1+\cfrac{1-t^2}{2}\Big)\Big|+\cfrac{1-t^2}{2}+t$

絶対値の左にある 2 は絶対値の中に放り込んでも大丈夫です。

$=|2t+t-t^3|-\cfrac{t^2}{2}+t+\cfrac{1}{2}$
$=|-t^3+3t|-\cfrac{t^2}{2}+t+\cfrac{1}{2}$
$=|t^3-3t|-\cfrac{t^2}{2}+t+\cfrac{1}{2}$

あとは，絶対値の中が正になる場合と，負になる場合に分けて考えていきましょう。

$h(t)=t^3-3t$ として

$h'(t)=3t^2-3$

$3t^2-3=0$ とすると

$t=\pm1$

ここで，$\sin x-\cos x=t$ としていたので，(1)より

$-\sqrt{2}\leqq t\leqq\sqrt{2}$

であることを思い出しましょう。

増減表は

$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline t&-\sqrt{2}&\cdots&-1&\cdots&0&\cdots&1&\cdots&\sqrt{2}\\\hline h'(t)&&+&0&-&-&-&0&+\\\hline h(t)&\sqrt{2}&\nearrow&&\searrow&0&\searrow&&\nearrow&-\sqrt{2}\\\hline\end{array}$

$h(-\sqrt{2})=(-\sqrt{2})^3-3(-\sqrt{2})$
$=-2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=\sqrt{2}$

$h(\sqrt{2})=(\sqrt{2})^3-3\sqrt{2}$
$=2\sqrt{2}-3\sqrt{2}=-\sqrt{2}$

ここから，絶対値の中の値は $-\sqrt{2}$ から 0 のあいだでは正，0 から $\sqrt{2}$ のあいだでは負であることがわかります。

(i) $-\sqrt{2}\leqq t\leqq0$ のとき

$g(t)=t^3-3t-\cfrac{t^2}{2}+t+\cfrac{1}{2}$
$=t^3-\cfrac{t^2}{2}-2t+\cfrac{1}{2}$

ここからさらに増減表を作って，取りうる値の範囲を求めましょう。

$g'(t)=3t^2-t-2$

$3t^2-t-2=0$ とすると

$(3k+2)(k-1)=0$

$k=-\cfrac{2}{3},\space1$

増減表は

$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline t&-\sqrt{2}&\cdots&-\frac{2}{3}&\cdots&0\\\hline g'(t)&&+&0&-\\\hline g(t)&-\frac{1}{2}&\nearrow&\frac{71}{59}&\searrow&\frac{1}{2}\\\hline\end{array}$

$g(-\sqrt{2})=(-\sqrt{2})^3-\cfrac{(-\sqrt{2})^2}{2}-2(-\sqrt{2})+\cfrac{1}{2}$
$=-2\sqrt{2}-1+2\sqrt{2}+\cfrac{1}{2}$
$=-\cfrac{1}{2}$

$g\Big(-\cfrac{2}{3}\Big)=\Big(-\cfrac{2}{3}\Big)^3-\cfrac{1}{2}\Big(-\cfrac{2}{3}\Big)^2-2\Big(-\cfrac{2}{3}\Big)+\cfrac{1}{2}$
$=-\cfrac{8}{27}-\cfrac{4}{18}+\cfrac{4}{3}+\cfrac{1}{2}$
$=\cfrac{71}{54}$

$g(0)=\cfrac{1}{2}$

(ii) $0<t\leqq\sqrt{2}$ のとき

$g(t)=-t^3+3t-\cfrac{t^2}{2}+t+\cfrac{1}{2}$

$=-t^3-\cfrac{t^2}{2}+4t+\cfrac{1}{2}$

$g'(t)=-3t^2-t+4$

$-3t^2-t+4=0$ とすると

$3t^2+t-4=0$
$(3t+4)(t-1)=0$
$t=-\cfrac{4}{3},\space1$

$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline t&(0)&\cdots&1&\cdots&\sqrt{2}\\\hline g'(t)&&+&0&-\\\hline g(t)&&\nearrow&3&\searrow&2\sqrt{2}-\frac{1}{2}\\\hline\end{array}$

$g(1)=-1-\cfrac{1}{2}+4+\cfrac{1}{2}$
$=3$

$g(\sqrt{2})=-2\sqrt{2}-1+4\sqrt{2}+\cfrac{1}{2}$
$=2\sqrt{2}-\cfrac{1}{2}$

したがって

$-\cfrac{1}{2}\leqq g(x)\leqq3$　（答え）