さいころの出た目を大きい順に並べたときの確率：確率はそう考えてはいけない(横浜国立大2019理系第3問)

$n$ を 3 以上の整数とする。1 個のさいころを $n$ 回投げたときに，出た目を大きい順に並べたものを

$X_1,X_2,\cdots,X_n$　($X_1\geqq X_2\geqq\cdots\geqq X_n$)

とする。たとえば，1 個のさいころを 5 回投げて，出た目が順に 4，5，3，4，2 であったとすると

$X_1=5$，$X_2=4$，$X_3=4$，$X_4=3$，$X_5=2$

となる。1 個のさいころを $n$ 回投げたとき，次の事象が起こる確率をそれぞれ求めよ。

(1) $X_n=2$

(2) $X_2=6$

(3) $X_2=6$ かつ $X_n=2$

余事象ではうまくいかない

(1)から始めます。

結局，余事象ではうまくいかないようです。

もう少しシンプルに考えましょう。

$\Big(\cfrac{5}{6}\Big)^n$ にはそもそも 1 は含まれません。その状態でなおかつ 2 も含まないということは，つまりすべて 3 以上であるということです。

したがって

(すべて2以上)－(すべて3以上)

$\Big(\cfrac{5}{6}\Big)^n-\Big(\cfrac{2}{3}\Big)^n$　（答え）

6 を 2 個以上含む場合

(2)に進みます。

$X_2=6$ となるのは，大きい順に並べたときに，6，6，・・・となるときです。つまり，6 が 2 個以上あれば良いことになります。

例えば，コインを 3 回投げたとき，表が 1 回だけ出る確率を求めるとします。このとき

表－裏－裏
裏－表－裏
裏－裏－表

が考えられます。単に表が 1 回，裏が 2 回として $\cfrac{1}{2}\times\Big(\cfrac{1}{2}\Big)^2=\cfrac{1}{8}$ としてはいけません。実際には $\cfrac{1}{8}+\cfrac{1}{8}+\cfrac{1}{8}=\cfrac{3}{8}$ が答えです。つまり，表が何回目に出るか，というパターンを合計する必要があるのです。

これを反復試行の確率と言います。教科書に戻れば，この計算は

$_3C_1\Big(\cfrac{1}{2}\Big)^1\Big(\cfrac{1}{2}\Big)^2=\cfrac{3}{8}$

と説明されているはずです。

今回の問題で言えば，$\Big(\cfrac{1}{6}\Big)^2$ だけでは，6 を何番目に引くかを考慮していないので不十分です。

ところが，これも問題が発生します。もし反復試行で式を作るとしたら

$_nC_2\Big(\textsf{6を引く確率}\Big)^2\Big(\textsf{6以外を引く確率}\Big)^{n-2}$

という式が出来上がるからです。しかし，この式は 6 を 2 個だけ含む場合であって，2 個以上含む場合ではありません。

そこで，別の方向から攻めてみましょう。今度は，余事象を使って，全事象から 6 が 1 個だけ出る場合と，6 が 0 個の場合を引きます。引いた残りは，6 が 2 個以上の場合になります。

(i) 6 が 1 個出る場合

$_nC_1\Big(\cfrac{1}{6}\Big)^1\Big(\cfrac{5}{6}\Big)^{n-1}$
$=\cfrac{n}{6}\Big(\cfrac{5}{6}\Big)^{n-1}$

(ii) すべて 5 以下の場合

$\Big(\cfrac{5}{6}\Big)^n$

したがって

$1-\cfrac{n}{6}\Big(\cfrac{5}{6}\Big)^{n-1}-\Big(\cfrac{5}{6}\Big)^n$

$=1-\cfrac{n}{6}\Big(\cfrac{5}{6}\Big)^n\Big(\cfrac{5}{6}\Big)^{-1}-\Big(\cfrac{5}{6}\Big)^n$

$=1-\cfrac{n}{6}\Big(\cfrac{5}{6}\Big)^n\cdot\cfrac{6}{5}-\Big(\cfrac{5}{6}\Big)^n$
$=1-\cfrac{n}{5}\Big(\cfrac{5}{6}\Big)^n-\Big(\cfrac{5}{6}\Big)^n$
$=1-\Big(1+\cfrac{n}{5}\Big)\Big(\cfrac{5}{6}\Big)^n$　（答え）

独立試行でない場合

(3)に進みます。

しかしながら，$X_2=6$ かつ $X_n=2$ はかけ算では処理できません。

たとえば，2 個のさいころ A，B を投げて，どちらも 1 が出る確率を考えると，$\cfrac{1}{6}\times\cfrac{1}{6}=\cfrac{1}{36}$ となります。

こうなるのは，さいころ A と B はお互いに別のものであって，さいころ A の目がさいころ B に影響することがないからです。これを独立試行と言います。

今回の場合，$X_2=6$ と $X_n=2$ はお互いに無関係ではありません。$X_2=6$ の中には $X_n=2$ の一部が含まれているので，$X_n=2$ の確率にさらに $X_n=2$ の確率をかけるとおかしなことになってしまいます。

図をもとに考えると，$X_n=2$ から $X_n=2$ かつ $X_2\not=6$ を引けば，$X_2=6$ かつ $X_n=2$ が求められることが分かります。

$X_n=2$ かつ $X_2\not=6$ は，まず

(すべて2以上5以下)－(すべて3以上5以下)

として考えられます。

ただし，この中には 6 が 1 個だけの場合が含まれないので

(すべて2以上5以下)－(すべて3以上5以下)
＋(すべて2以上かつ6が1個)－(すべて3以上かつ6が1個)

とすればオッケーです。

(i) すべて2以上5以下

$\Big(\cfrac{2}{3}\Big)^n$

(ii) すべて3以上5以下

$\Big(\cfrac{1}{2}\Big)^n$

(iii) すべて2以上かつ6が1個

すべて2以上かつ6が1個は，いいかえれば6が1個で残りは2,3,4,5のいずれかということだから
$_nC_1\Big(\cfrac{1}{6}\Big)^1\Big(\cfrac{2}{3}\Big)^{n-1}$
$=\cfrac{n}{6}\Big(\cfrac{2}{3}\Big)^{n-1}$

(iv) すべて3以上かつ6が1個

$_nC_1\Big(\cfrac{1}{6}\Big)^1\Big(\cfrac{1}{2}\Big)^{n-1}$
$=\cfrac{n}{6}\Big(\cfrac{1}{2}\Big)^{n-1}$

したがって

$\Big(\cfrac{5}{6}\Big)^n-\Big(\cfrac{2}{3}\Big)^n-\Big(\cfrac{2}{3}\Big)^n+\Big(\cfrac{1}{2}\Big)^n-\cfrac{n}{6}\Big(\cfrac{2}{3}\Big)^{n-1}+\cfrac{n}{6}\Big(\cfrac{1}{2}\Big)^{n-1}$

$=\Big(\cfrac{5}{6}\Big)^n-2\Big(\cfrac{2}{3}\Big)^n+\Big(\cfrac{1}{2}\Big)^n-\cfrac{n}{6}\Big(\cfrac{2}{3}\Big)^n\cdot\cfrac{3}{2}+\cfrac{n}{6}\Big(\cfrac{1}{2}\Big)^n\cdot2$
$=\Big(\cfrac{5}{6}\Big)^n-2\Big(\cfrac{2}{3}\Big)^n+\Big(\cfrac{1}{2}\Big)^n-\cfrac{n}{4}\Big(\cfrac{2}{3}\Big)^n+\cfrac{n}{3}\Big(\cfrac{1}{2}\Big)^2$
$=\Big(\cfrac{5}{6}\Big)^n-\Big(2+\cfrac{n}{4}\Big)\Big(\cfrac{2}{3}\Big)^n+\Big(1+\cfrac{n}{3}\Big)\Big(\cfrac{1}{2}\Big)^n$　（答え）