数IAIIB横浜国立大高校数学の解法

横浜国立大2015理系第4問  連続する自然数の和を考える・偶数と奇数の積がポイント

自然数を 2 個以上の連続する自然数の和で表すことを考える。たとえば,42 は $3+4+\cdots+9$ のように 2 個以上の連続する自然数の和で表せる。次の問いに答えよ。

(1) 2020 を 2 個以上の連続する自然数の和で表す表し方をすべて求めよ。

(2) $a$ を 0 以上の整数とするとき,$2^a$ は 2 個以上の連続する自然数の和で表せないことを示せ。

(3) $a$,$b$ を自然数とするとき,$2^a(2b+1)$ は 2 個以上の連続する自然数の和で表せることを示せ。

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2020 を積の形で表してみる

(1)から始めます。

連続する自然数をどのように表すかによって,問題が解ける形になったりならなかったりします。色々なパターンを試してみる必要があるでしょう。

ここでは,連続する自然数を

$m,m+1,m+2,\cdots,m+n$

としてみます。このとき,$m,n$ は何らかの自然数です。数列の和は

$\displaystyle\sum_{k=m}^{m+n}k=\sum_{k=1}^{m+n}k-\sum_{k=1}^{m-1}k$
$=\cfrac{1}{2}(m+n)(m+n+1)-\cfrac{1}{2}(m-1)m=2020$
$(m+n)(m+n+1)-(m-1)m=4040$
$m^2+mn+m+mn+n^2+n-m^2+m=4040$
$2m+2mn+n^2+n=4040$
$2m(n+1)+n(n+1)=4040$
$(n+1)(2m+n)=4040$

$4040=2^3\times5\times101$ だから,4040 を約数の形になおして,$m,n$ を考えていきましょう。

たとえば,$n+1=2$ とすると $n=1$ です。そうすると,$2m+n$ は $2m+1$ となり,$2m+1=2020$ であれば,積が 4040 になります。

しかし,これに当てはまる自然数 $m$ は存在しません。よって,これは不適です。

同じように他の値で考えてみます。

$n+1=4$ のとき $2m+3=1010$ (不適)
$n+1=5$ のとき $2m+4=808$
$m=402$

よって,$402+403+\cdots+406$ は答えの一つです。

さらに,他の値で考えていきます。

$n+1=8$ のとき $2m+7=505$
$m=249$

よって,$249+250+\cdots+256$ は答えの一つ。

$n+1=10$ のとき $2m+9=404$ (不適)
$n+1=20$ のとき $2m+19=202$ (不適)
$n+1=40$ のとき $2m+39=101$
$m=31$

よって,$31+32+\cdots+70$ は答えの一つ。

$n+1=101$ のとき $2m+100=40$ (不適)

$2m+100=40$ は移項すると $2m=-60$ となり,これに当てはまる自然数は存在しません。$n$ の値をこれ以上大きくしても同じことになるので,ここで終わりです。

したがって

$402+403+\cdots+406$
$249+250+\cdots+256$
$31+32+\cdots+70$

(答え)

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背理法で証明する

(2)に進みます。

まず $a=0$ のとき,$2^a=1$ だから,これを 2 個以上の連続する自然数の和で表すことは明らかにムリです。

次に(1)で作った式を利用して

$\cfrac{1}{2}(m+n)(m+n+1)-\cfrac{1}{2}(m-1)m=2^a$

としてみます。式を整理すると

$(n+1)(2m+n)=2^{a+1}$

式見て矛盾しているのがピンと来るといいのだけど。

左辺に 2 じゃない数が来たらダメってこと?

$m,n$ は自然数なので,$n+1$ や $2m+1$ が 1 になることはありません。したがって,$n+1$ と $2m+1$ はどちらも 2 を因数としてもつ必要があります。

$n+1$ が偶数のとき,$n$ は奇数です。ということは $2m+n$ は奇数となり,ここで矛盾することになります。

証明をまとめていきましょう。

$a$ を 0 以上の整数とするとき,$2^a$ は 2 個以上の連続する自然数の和で表せると仮定すると

$a=0$ のとき,$2^a=1$ となるので,2 個以上の連続する自然数の和で表すことはできない。

また,

$(n+1)(2m+n)=2^{a+1}$

とすると,$n+1$,$2m+n$ はそれぞれ 2 を因数にもつ。

$n+1$ が 2 を因数にもつとき,$n$ は奇数であるが,同時に $2m+n$ は奇数であり,2 を因数にもたない。よって,矛盾する。

したがって,$2^a$ は 2 個以上の連続する自然数の和で表せない。(証明終わり)

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さらに因数の積を考える

(3)に進みます。

(1),(2)でやってきたように,$2^a(2b+1)$ を因数の積として考えていけば証明できそうです。

$\cfrac{1}{2}(m+n)(m+n+1)-\cfrac{1}{2}(m-1)m=2^a(2b+1)$
$\cfrac{1}{2}(n+1)(2m+n)=2^a(2b+1)$

とする。

左辺について考えると,$m,n$ は自然数だから,$n+1$ よりも $2m+n$ の方が大きな数になるのは明らかです。

(i) $2^a<2b+1$ のとき

$\begin{cases}\cfrac{1}{2}(n+1)=2^a\\2m+n=2b+1\end{cases}$

とすると

$n+1=2^{a+1}$
$n=2^{a+1}-1$

代入して

$2m+2^{a+1}-1=2b+1$
$2m=2b+2-2^{a+1}$
$m=2b+1-2^a$

よって,あてはまる自然数 $m,n$ が存在する。

(ii) $2^a>2b+1$ のとき

$\begin{cases}n+1=2b+1\\\cfrac{1}{2}(2m+n)=2^a\end{cases}$

とすると

$n=2b$

代入して

$\cfrac{1}{2}(2m+2b)=2^a$
$m+b=2^a$
$m=2^a-b$

よって,あてはまる自然数 $m,n$ が存在する。

したがって,$a$,$b$ を自然数とするとき,$2^a(2b+1)$ は 2 個以上の連続する自然数の和で表せる。(証明終わり)

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