連続する自然数の和を考える・偶数と奇数の積がポイント(横浜国立大2015理系第4問)

公開日:2021/07/25

最終更新日:2021/07/25

自然数を 2 個以上の連続する自然数の和で表すことを考える。たとえば，42 は $3+4+\cdots+9$ のように 2 個以上の連続する自然数の和で表せる。次の問いに答えよ。

(1) 2020 を 2 個以上の連続する自然数の和で表す表し方をすべて求めよ。

(2) $a$ を 0 以上の整数とするとき，$2^a$ は 2 個以上の連続する自然数の和で表せないことを示せ。

(3) $a$，$b$ を自然数とするとき，$2^a(2b+1)$ は 2 個以上の連続する自然数の和で表せることを示せ。

2020 を積の形で表してみる

(1)から始めます。

連続する自然数をどのように表すかによって，問題が解ける形になったりならなかったりします。色々なパターンを試してみる必要があるでしょう。

ここでは，連続する自然数を

$m,m+1,m+2,\cdots,m+n$

としてみます。このとき，$m,n$ は何らかの自然数です。数列の和は

$\displaystyle\sum_{k=m}^{m+n}k=\sum_{k=1}^{m+n}k-\sum_{k=1}^{m-1}k$
$=\cfrac{1}{2}(m+n)(m+n+1)-\cfrac{1}{2}(m-1)m=2020$
$(m+n)(m+n+1)-(m-1)m=4040$
$m^2+mn+m+mn+n^2+n-m^2+m=4040$
$2m+2mn+n^2+n=4040$
$2m(n+1)+n(n+1)=4040$
$(n+1)(2m+n)=4040$

$4040=2^3\times5\times101$ だから，4040 を約数の形になおして，$m,n$ を考えていきましょう。

たとえば，$n+1=2$ とすると $n=1$ です。そうすると，$2m+n$ は $2m+1$ となり，$2m+1=2020$ であれば，積が 4040 になります。

しかし，これに当てはまる自然数 $m$ は存在しません。よって，これは不適です。

同じように他の値で考えてみます。

$n+1=4$ のとき $2m+3=1010$　（不適）
$n+1=5$ のとき $2m+4=808$
$m=402$

よって，$402+403+\cdots+406$ は答えの一つです。

さらに，他の値で考えていきます。

$n+1=8$ のとき $2m+7=505$
$m=249$

よって，$249+250+\cdots+256$ は答えの一つ。

$n+1=10$ のとき $2m+9=404$ （不適）
$n+1=20$ のとき $2m+19=202$　（不適）
$n+1=40$ のとき $2m+39=101$
$m=31$

よって，$31+32+\cdots+70$ は答えの一つ。

$n+1=101$ のとき $2m+100=40$　（不適）

$2m+100=40$ は移項すると $2m=-60$ となり，これに当てはまる自然数は存在しません。$n$ の値をこれ以上大きくしても同じことになるので，ここで終わりです。

したがって

$402+403+\cdots+406$
$249+250+\cdots+256$
$31+32+\cdots+70$

（答え）

背理法で証明する

(2)に進みます。

まず $a=0$ のとき，$2^a=1$ だから，これを 2 個以上の連続する自然数の和で表すことは明らかにムリです。

次に(1)で作った式を利用して

$\cfrac{1}{2}(m+n)(m+n+1)-\cfrac{1}{2}(m-1)m=2^a$

としてみます。式を整理すると

$(n+1)(2m+n)=2^{a+1}$

式見て矛盾しているのがピンと来るといいのだけど。

左辺に 2 じゃない数が来たらダメってこと？

$m,n$ は自然数なので，$n+1$ や $2m+1$ が 1 になることはありません。したがって，$n+1$ と $2m+1$ はどちらも 2 を因数としてもつ必要があります。

$n+1$ が偶数のとき，$n$ は奇数です。ということは $2m+n$ は奇数となり，ここで矛盾することになります。

証明をまとめていきましょう。

$a$ を 0 以上の整数とするとき，$2^a$ は 2 個以上の連続する自然数の和で表せると仮定すると

$a=0$ のとき，$2^a=1$ となるので，2 個以上の連続する自然数の和で表すことはできない。

また，

$(n+1)(2m+n)=2^{a+1}$

とすると，$n+1$，$2m+n$ はそれぞれ 2 を因数にもつ。

$n+1$ が 2 を因数にもつとき，$n$ は奇数であるが，同時に $2m+n$ は奇数であり，2 を因数にもたない。よって，矛盾する。

したがって，$2^a$ は 2 個以上の連続する自然数の和で表せない。（証明終わり）

さらに因数の積を考える

(3)に進みます。

(1)，(2)でやってきたように，$2^a(2b+1)$ を因数の積として考えていけば証明できそうです。

$\cfrac{1}{2}(m+n)(m+n+1)-\cfrac{1}{2}(m-1)m=2^a(2b+1)$
$\cfrac{1}{2}(n+1)(2m+n)=2^a(2b+1)$

とする。

左辺について考えると，$m,n$ は自然数だから，$n+1$ よりも $2m+n$ の方が大きな数になるのは明らかです。

(i) $2^a<2b+1$ のとき

$\begin{cases}\cfrac{1}{2}(n+1)=2^a\\2m+n=2b+1\end{cases}$

とすると

$n+1=2^{a+1}$
$n=2^{a+1}-1$

代入して

$2m+2^{a+1}-1=2b+1$
$2m=2b+2-2^{a+1}$
$m=2b+1-2^a$

よって，あてはまる自然数 $m,n$ が存在する。

(ii) $2^a>2b+1$ のとき

$\begin{cases}n+1=2b+1\\\cfrac{1}{2}(2m+n)=2^a\end{cases}$