【スマホで読む・わかりやすい】共通テスト数学IA2022追試【解説・正解・問題】

第４問　正解

ア 3 イ 6 ウ 6 エ 2

オ,カ 4, 5 キ 3 ク 5

ケコサ 191

(1)

一般に，次のことが成り立つ。

$77k=5\times15k+2k$

$5\times15k$ は 5 で割り切れる（余りは 0）。よって，[1]より $2k$ を 5 で割った余りが 1 となれば良い。

ここで，$k=3$ のとき

$2\times3=6$

$6=5\times1+1$

となり，余りが 1 になる。

したがって $k=3$

・・・ア

(2)

$\cfrac{k}{5}+\cfrac{\ell}{7}+\cfrac{m}{11}-\cfrac{1}{385}$ が整数で，その整数を $n$ とすると

$\cfrac{k}{5}+\cfrac{\ell}{7}+\cfrac{m}{11}-\cfrac{1}{385}=n$

移項して

$\cfrac{k}{5}+\cfrac{\ell}{7}+\cfrac{m}{11}=\cfrac{1}{385}+n$ ・・・②

となる。②の両辺に 385 を掛けて

$77k+55\ell+35m=1+385n$ ・・・③

移項して

$77k=-55\ell-35m+385n+1$

$77k=5(-11\ell-7m+77n)+1$

(1)より，$77k$ は $k=3$ のときに 5 で割った余りが 1 になるので，上の等式が成り立つのは $k=3$ のときであることが分かる。

また，$55\ell=7(-11k-5m+55n)+1$ について考える。

(1)と同様にして，$55\ell$ を 7 で割った余りが 1 になるときを考える。

$55\ell=7\times7\ell+6\ell$

となり，$6\ell$ を 7 で割った余りを求めると

$\ell=6$ のとき

$6\ell=6\times6=36$

$36=7\times5+1$

となる。したがって，$\ell=6$

・・・イ

さらに，$35m=11(-7k-5\ell+35n)+1$ について考えると

$35m=11\times3m+2m$

$2m$ を 11 で割った余りが 1 になるのは，$m=6$ のとき。

・・・ウ

なお，$k=3,\ell=6,m=6$ を③に代入すると

$77\times3+55\times6+35\times6=1+385n$

$771=1+385n$

$385n=770$

$n=2$

となる。

(3)

$77\times3\times x+55\times6\times y+35\times6\times z$

$=77\times3\times x+5\times(11\times6\times y+7\times6\times z)$

$5\times(11\times6\times y+7\times6\times z)$ は 5 で割り切れる（余りは 0)。

よって，$77\times3\times x$ を 5 で割った余りが 2 であれば，式全体を 5 で割った余りも 2 となる。

$77\times3\times x=231\times x$

$=5\times46\times x+x$

$x$ を 5 で割った余りが 2 となるのは，$x=2$ のとき。

・・・エ

同様にして

$77\times3\times x+35\times6\times z$

は 7 で割り切れるので，あとは $55\times6\times y$ を 7 で割った余りが 4 となれば良い。

$55\times6\times y=330\times y$

$=7\times47\times y+ y$

$y$ を 7 で割った余りが 4 となるのは，$y=4$ のとき。

・・・オ

さらに

$77\times3\times x+55\times6\times y$

は 11 で割り切れるので，あとは $35\times6\times z$ を 11 で割った余りが 5 となれば良い。

$35\times6\times z=210\times z$

$=11\times19\times z+z$

$z$ を 11 で割った余りが 5 となるのは，$z=5$ のとき。

・・・カ

5, 7, 11 の最小公倍数は $5\times7\times11=385$ だから $385r$ は 5, 7, 11 のいずれでも割り切れる。よって，$M=p+385r$ は 5, 7, 11 で割った余りがそれぞれ 2, 4, 5 になる。

(4)

$p=77\times3\times2+55\times6\times4+35\times6\times5$

(3)より，$p$ を 5 で割った余りは 2 である。

≪4≫より，$p^a$ を 5 で割った余りは，$2^a$ を 5 で割った余りと等しい。

$a=2,3,4,\cdots$ の場合を，それぞれ求めると

$2^2=4$　⇒ 5 で割った余りは 4

$2^3=8$　⇒ 5 で割った余りは 3

$2^4=16$　⇒　5 で割った余りは 1

したがって，$p^a$ を 5 で割った余りが 1 となる正の整数 $a$ のうち，最小のものは $a=4$ である。

また

$p$ を 7 で割った余りは 4 である。

上と同様に，$4^b$ を 7 で割った余りを求めると良い。

$b=2,3,4,\cdots$ をそれぞれ求めると

$4^2=16$　⇒　7 で割った余りは 2

$4^3=64$　⇒　7 で割った余りは 1

したがって，$p^b$ を 7 で割った余りが 1 となる正の整数 $b$ のうち，最小のものは $b=3$ となる。

・・・キ

さらに

$p$ を 11 で割った余りは 5 である。

$5^c$ を 7 で割った余りを考える。

$c=2,3,4,\cdots$ をそれぞれ求めると

$5^2=25$　⇒ 11 で割った余りは 3

$5^3=125$　⇒　11 で割った余りは 4

$5^4=625$　⇒　11 で割った余りは 9

$5^5=3125$　⇒　11 で割った余りは 1

したがって，$p^c$ を 11 で割った余りが 1 となる正の整数 $c$ のうち，最小のものは $c=5$ である。

・・・ク

まとめると

$p^4$ を 5 で割った余りは 1

$p^3$ を 7 で割った余りは 1

$p^5$ を 11 で割った余りは 1

これらを利用する。

まず，$p^8=(p^4)^2$ である。

≪4≫より，$p^8$ を 5 で割った余りは，$1^2=1$ を 5 で割った余りの 1 に等しい。

また，$p^8=(p^3)^2\times p^2$ である。

≪4≫より，$(p^3)^2$ を 7 で割った余りは，$1^2=1$ を 7 で割った余り 1 に等しい。

$p$ を 7 で割った余りは 4 だから，≪4≫より，$p^2$ を 7 で割った余りは，$4^2=16$ を 7 で割った余り 2 に等しい。

よって，≪3≫より，$p^8$ を 7 で割った余りは，$1\times2=2$ を $7$ で割った余り 2 に等しい。

さらに，$p^8=p^5\times p^3$ である。

$p$ を 11 で割った余りは 5 だから，≪4≫より，$p^3$ を 11 で割った余りは，$5^3=125$ を 11 で割った余り 4 に等しい。

よって，≪3≫より，$p^8$ を 11 で割った余りは，$1\times4=4$ を 11 で割った余り 4 に等しい。

まとめると

$p^8$ を 5 で割った余りは 1

$p^8$ を 7 で割った余りは 2

$p^8$ を 11 で割った余りは 4

ここで，(3)より

$t=77\times3\times x+55\times6\times y+35\times6\times z$

とする。$x=1$ として，$77\times3\times1$ を 5 で割ると，余りは 1 である。よって，$t$ を 5 で割った余りは 1 である。

同様に $y=2$ とすると，$t$ を 7 で割った余りは 2 であり，$z=4$ とすると，$t$ を 11 で割った余りは 4 になる。

ここで

$t=77\times3\times1+55\times6\times2+35\times6\times4$

とすると，5, 7, 11 で割った余りがそれぞれ 1, 2, 4 である整数は

$N=t+385r$

と表すことができる。よって

$p^8=t+385r$

とおく。

$t+385r$ を 385 で割った余りは，$t$ を 385 で割った余りに等しい。$t$ を求めると

$t=1731$

$t=385\times4+191$

となるので，$q=191$

・・・ケコサ

問題文

第３問～第５問は，いずれか２問を選択し，解答しなさい。

第４問

(1) 整数 $k$ が $0\leqq k < 5$ を満たすとする。$77k=5\times15k+2k$ に注意すると，$77k$ を 5 で割った余りが 1 となるのは $k=\boxed{\textsf{ア}}$ のときである。

(2) 三つの整数 $k$，$\ell$，$m$ が

$0\leqq k<5$，$0\leqq\ell<7$，$0\leqq m<11$

を満たすとする。このとき

$\cfrac{k}{5}+\cfrac{\ell}{7}+\cfrac{m}{11}-\cfrac{1}{385}$ ・・・①

が整数となる $k$，$\ell$，$m$ を求めよう。

① の値が整数のとき，その値を $n$ とすると

$\cfrac{k}{5}+\cfrac{\ell}{7}+\cfrac{m}{11}=\cfrac{1}{385}+n$ ・・・②

となる。②の両辺に 385 を掛けると

$77k+55\ell+35m=1+385n$ ・・・③

となる。これより

$77k=5(-11\ell-7m+77n)+1$

となることから，$77k$ を 5 で割った余りは 1 なので $k=\boxed{\text{ア}}$ である。

同様にして

$55\ell=7(-11k-5m+55n)+1$

および

$35m=11(-7k-5\ell+35n)+1$

であることに注意すると，$\ell=\boxed{\textsf{イ}}$ および $m=\boxed{\textsf{ウ}}$ が得られる。なお，$k=\boxed{\text{ア}}$，$\ell=\boxed{\text{イ}}$，$m=\boxed{\text{ウ}}$ を ③ に代入すると $n=2$ であることがわかる。

(3) 三つの整数 $x$，$y$，$z$ が

$0\leqq x<5$，$0\leqq y<7$，$0\leqq x<11$

を満たすとする。次の形の整数

$77\times\boxed{\text{ア}}\times x+55\times\boxed{\text{イ}}\times y+35\times\boxed{\text{ウ}}\times z$

を 5，7，11 で割った余りがそれぞれ 2，4，5 であるとする。このとき，$x$，$y$，$z$ を求めよう。$77\times\boxed{\text{ア}}\times x$ を 5 で割った余りが 72 であることから $x=\boxed{\textsf{エ}}$ となる。同様にして $y=\boxed{\textsf{オ}}$，$z=\boxed{\textsf{カ}}$ となる。$x$，$y$，$z$ を上で求めた値として，整数 $p$ を

$p=77\times\boxed{\text{ア}}\times x+55\times\boxed{\text{イ}}\times y+35\times\boxed{\text{ウ}}\times z$

で定める。このとき，5，7，11 で割った余りがそれぞれ 2， 4，5 である 整数 $M$ は，ある整数 $r$ を用いて $M＝p+385r$ と表すことができる。

(4) 整数 $p$ を (3) で定めたものとする。$p^a$ を 5 で割った余りが 1 となる正の整数 $a$ のうち，最小のものは $a=4$ である。また，$p^b$ を 7 で割った余りが 1 となる正の整数 $b$ のうち，最小のものは $b=\boxed{\textsf{キ}}$ となる。さらに，$p^c$ を 11 で割った余りが 1 となる正の整数 $c$ のうち，最小のものは $c=\boxed{\textsf{ク}}$ である。

$p^8$ を 385 で割った余りを $q$ とするとき，$q$ を求めよう。$p^8$ を 5，7，11 で割った余りを利用して (3) と同様に考えると，$q=\boxed{\textsf{ケコサ}}$ であることがわかる。