数IAIIB高校数学の解法

【数IA】二重根号の公式って何で成り立つの?

二重根号の公式習ったけど,何で公式成り立つのか分かりません。

ワリと簡単。

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二重根号の公式が成り立つ仕組み

まずは公式のおさらいから。

$\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ (ただし $a>0,b>0$)

たとえば,$\sqrt{7+2\sqrt{10}}$ なら $2+5=7$,$2\times5=10$ だから,$=\sqrt{2}+\sqrt{5}$ が成り立ちます。

ですね。

二重根号の計算は因数分解を使ってあっさり解決できます。

ルートの中の部分で考えましょう。

$7+2\sqrt{10}$
$=2+5+2\sqrt{2\times5}$

ここで $2$ は $(\sqrt{2})^2$ に書き換えることができます。$5$ も $(\sqrt{5})^2$ と同じことです。

$=(\sqrt{2})^2+(\sqrt{5})^2+2\times\sqrt{2}\times\sqrt{5}$

並べかえて

$=(\sqrt{2})^2+2\times\sqrt{2}\times\sqrt{5}+(\sqrt{5})^2$

因数分解の公式 $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ を使うと

$=(\sqrt{2}+\sqrt{5})^2$

となります。つまり

$\sqrt{2+5+2\sqrt{2\times5}}$
$=\sqrt{(\sqrt{2}+\sqrt{5})^2}$
$=\sqrt{2}+\sqrt{5}$

因数分解したらルート外せるんだ。

因数分解できるのが前提だから,何でも外せるワケじゃないってのも理解できるよね。

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引き算の場合は注意が必要

二重根号の引き算のパターンも同じです。

$\sqrt{7-2\sqrt{10}}$
$=\sqrt{2+5-2\sqrt{2\times5}}$
$=\sqrt{(\sqrt{5})^2-2\times\sqrt{5}\times\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2}$
$=\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2}$
$=\sqrt{5}-\sqrt{2}$

$\sqrt{2}-\sqrt{5}$ としないように注意して。

何で?

$\sqrt{2}-\sqrt{5}$ は負の数になります。しかし,$(\sqrt{2}-\sqrt{5})^2$ のように何かの数を 2 乗したものは必ず正の数となるので

$=\sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{5})^2}$ ⇒ルートの中は正の数
$=\sqrt{2}-\sqrt{5}$ ⇒負の数

となって矛盾します。ルートの中が正の数なら,ルートを外した数も必ず正の数になります。したがってルートを外すときには

$=\sqrt{5}-\sqrt{2}$ ⇒正の数

とするのが正解なのです。

分かるような分からないような。

例えば,かっこの中が負の数だとしても

$\sqrt{(-3)^2}$
$=\sqrt{9}$
$=3$

となります。

$\sqrt{(-3)^2}=-3$ とはならないから注意。

こうして考えていくと,ルートを外したときに答えが負の数になるのはあり得ないということが分かってくると思います。

必ず正の数なんだ。

そうね。ただし,次のような場合はあるよ。

$-\sqrt{9}=-3$

ルートの前にマイナスついているときは答えは負の数になる。そして,次のようなパターンがやっかいだよね。

$-\sqrt{(-3)^2}$
$=-\sqrt{9}$
$=-3$

プラスなのかマイナスなのか頭ごちゃごちゃです。

手順を踏んでちゃんと考えれば分かると思うから,頭の体操。

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