共通テスト数学

【スマホで読む・わかりやすい】共通テスト数学IA2022本試【解説・正解・問題】

第1問 正解

アイ $-6$ ウエ $38$ オカ $-2$
キク $18$ ケ $2$ コ.サシス $0.072$
セ $2$ ソ,タ 2, 3 チツ,テ 10, 3
ト 4 ナ 6 ニヌ,ネ $-1$, 3
ノ,ハ 7, 3 ヒ 4

ad

〔1〕(1)

展開の公式
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$

公式に①,②を代入して

$1^2=13+2ab+2bc+2ca$
$2ab+2bc+2ca=-12$
$ab+bc+ca=-6$

・・・アイ

$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$
$=a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2$
$=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca$
$2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)$

$a^2+b^2+c^2=13$ と $ab+bc+ca=-6$ を代入して

$2\times13-2\times(-6)=38$

・・・ウエ

ad

〔1〕(2)

$x+y=b-c+c-a$
$=b-a$
$=-(a-b)$
$=-2\sqrt{5}$

・・・オカ

次に,(1)の計算を利用して $x^2+y^2$ を求める。

$x^2+y^2=(b-c)^2+(c-a)^2$

となる。(1)より

$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=38$

$a-b=2\sqrt{5}$ を代入すると

$(2\sqrt{5})^2+(b-c)^2+(c-a)^2=38$
$20+(b-c)^2+(c-a)^2=38$
$(b-c)^2+(c-a)^2=18$

となるので

$x^2+y^2=18$

・・・キク

これらより

$(a-b)(b-c)(c-a)$

を求める。

問題文より $a-b=2\sqrt{5}$,$b-c=x$,$c-a=y$ をそれぞれ代入すると

$=2\sqrt{5}xy$

ここで

$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ より

$2xy=(x+y)^2-(x^2+y^2)$

$x+y=-2\sqrt{5}$,$x^2+y^2=18$ をそれぞれ代入すると

$2xy=(-2\sqrt{5})^2-18$
$=20-18$
$=2$

よって

$xy=1$

これを $2\sqrt{5}xy$ に代入すると

$(a-b)(b-c)(c-a)=2\sqrt{5}$

・・・ケ

ad

〔2〕

三角比の表より $\tan16\degree=0.2867$ であり

$\text{AC}:\text{BC}=1:0.2867$

である。

しかし,実際には水平方向と鉛直方向で縮尺が異なる。$\cfrac{1}{25000}$ の縮尺は $\cfrac{1}{4}$ 倍すれば $\cfrac{1}{100000}$ の縮尺となるので

$0.2867\times\cfrac{1}{4}=0.0716\cdots$

ここで,問題冊子の「Ⅱ 解答上の注意」に一つ下の桁を四捨五入するように指示があることに注意して

$\tan\angle\text{BAC}=0.072$

・・・コサシス

次に,∠BAC の大きさを求めると,三角比の表より

$0.0699<0.072<0.0875$
$\tan4\degree<\tan\angle\text{BAC}<\tan5\degree$

したがって,∠BAC の大きさは,② 4° より大きく 5° より小さい。

・・・セ

〔3〕(1)

正弦定理
$\cfrac{a}{\sin A}=\cfrac{b}{\sin B}=\cfrac{c}{\sin C}=2R$
( $R$ は外接円の半径)

$\sin\angle\text{ABC}$ を求める。

外接円の半径は 3 だから,正弦定理より

$\cfrac{4}{\sin\angle\text{ABC}}=2\times3=6$

$\sin\angle\text{ABC}=\cfrac{4}{6}$
$=\cfrac{2}{3}$

・・・ソタ

次に,AD を求める。

ここで,三角比の性質を考えると良い。

$\sin$ は $\cfrac{\textsf{高さ}}{\textsf{斜辺}}$ だから

$\textsf{斜辺}\times\sin\theta=\textsf{斜辺}\times\cfrac{\textsf{高さ}}{\textsf{斜辺}}$
$=\cancel{\textsf{斜辺}}\times\cfrac{\textsf{高さ}}{\cancel{\textsf{斜辺}}}$
$=\textsf{高さ}$

となり,高さを求めることができる。

これを利用して

$\text{AD}=\text{AB}\times\sin\angle\text{ABD}$
$=5\sin\angle\text{ABD}$

$\angle\text{ABD}=\angle\text{ABC}$ だから

$=5\times\cfrac{2}{3}=\cfrac{10}{3}$

・・・チツテ

〔3〕(2)

外接円の半径が 3 であることに注意する。つまり,外接円の直径は 6 となるので,三角形のそれぞれの辺の長さの最大は 6 である。

よって

$0\leqq\text{AC}\leqq6$

また,$2\text{AB}+\text{AC}=14$ より

$\text{AC}=14-2\text{AB}$

これを代入して

$0\leqq14-2\text{AB}\leqq6$

たとえば $1\leqq2$ の符号を逆にすると $-1\geqq-2$ となるように,プラス・マイナスを入れかえると不等号の向きが逆になることに注意して

$-6\leqq2\text{AB}-14\leqq0$
$8\leqq2\text{AB}\leqq14$
$4\leqq\text{AB}\leqq7$

ただし,辺の長さの最大は 6 だから

$4\leqq\text{AB}\leqq6$

・・・ト,ナ

次に AD を AB の式で表す。

正弦定理より

$\cfrac{\text{AC}}{\sin\angle\text{ABC}}=2\times3=6$
$\sin\angle\text{ABC}=\cfrac{\text{AC}}{6}$

また,$\textsf{斜辺}\times\sin\theta=\textsf{高さ}$ を用いて

$\text{AB}\times\sin\angle\text{ABD}=\text{AD}$

$\angle\text{ABC}=\angle\text{ABD}$ だから

$\text{AB}\times\cfrac{\text{AC}}{6}=\text{AD}$
$\text{AB}\times\text{AC}=6\text{AD}$

$\text{AC}=14-2\text{AB}$ より

$\text{AB}(14-2\text{AB})=6\text{AD}$
$14\text{AB}-2\text{AB}^2=6\text{AD}$
$\text{AD}=\cfrac{-1}{3}\text{AB}^2+\cfrac{7}{3}\text{AB}$

・・・ニヌネノハ

さらに,AD の最大値を求める。

$\text{AB}=x$,$\text{AD}=y$ とすると

$y=-\cfrac{1}{3}x^2+\cfrac{7}{3}x$

平方完成して

$y=-\cfrac{1}{3}(x^2-7x)$
$=-\cfrac{1}{3}\Big(x-\cfrac{7}{2}\Big)^2+\cfrac{49}{12}$

よって,$y$ の最大は $x=4$ のとき。

$y=-\cfrac{1}{3}x^2+\cfrac{7}{3}x$ に $x=4$ を代入すると

$y=-\cfrac{1}{3}\times4^2+\cfrac{7}{3}\times4$
$=\cfrac{-16+28}{3}$
$=\cfrac{12}{3}$
$=4$

したがって,AD の長さの最大値は 4 である。

・・・ヒ

問題文

第1問〔1〕

実数 $a,b,c$ が

$a+b+c=1$ ・・・①

および

$a^2+b^2+c^2=13$ ・・・②

を満たしているとする。

(1) $(a+b+c)^2$ を展開した式において,① と ② を用いると

$ab+bc+ca=\boxed{\textsf{\enspace アイ\enspace}}$

であることがわかる。よって

$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=\boxed{\textsf{\enspaceウエ\enspace}}$

である。

(2) $a-b=2\sqrt{5}$ の場合に,$(a-b)(b-c)(c-a)$ の値を求めてみよう。

$b-c=x$,$c-a=y$ とおくと

$x+y=\boxed{\textsf{\enspace オカ\enspace}}\sqrt{5}$

である。また,(1)の計算から

$x^2+y^2=\boxed{\textsf{\enspace キク\enspace}}$

が成り立つ。

これらより

$(a-b)(b-c)(c-a)=\boxed{\textsf{\enspace ケ\enspace}}\sqrt{5}$

である。

〔2〕

以下の問題を解答するにあたっては,必要に応じて 41 ページの三角比の表を用いてもよい。

太郎さんを花子さんは,キャンプ場のガイドブックにある地図を見ながら,後のように話している。

太郎:キャンプ場の地点 A から山頂 B を見上げる角度はどれくらいかな。

花子:地図アプリを使って,地点 A と山頂 B を含む断面図を調べたら,図 1 のようになったよ。点 C は,山頂 B から地点 A を通る水平面に下ろした垂線とその水平面との交点のことだよ。

太郎:図 1 の角度 $\theta$ は,AC,BC の長さを定規で測って,三角比の表を用いて調べたら 16° だったよ。

花子:本当に 16° なの? 図 1 の鉛直方向の縮尺と水平方向の縮尺は等しいのかな?

図 1 の $\theta$ はちょうど 16° であったとする。しかし,図 1 の縮尺は,水平方向が $\cfrac{1}{100000}$ であるのに対して,鉛直方向は $\cfrac{1}{25000}$ であった。

実際にキャンプ場の地点 A から山頂 B を見上げる角である ∠BAC を考えると,$\tan\angle\text{BAC}$ は $\boxed{\textsf{\enspace コ\enspace}}.\boxed{\textsf{\enspace サシス\enspace}}$ となる。したがって,∠BAC の大きさは $\boxed{\boxed{\textsf{\enspace セ\enspace}}}$。ただし,目の高さは無視して考えるものとする。

$\boxed{\boxed{\textsf{\enspace セ\enspace}}}$ の回答群

$\textsf{\textcircled{0}}$ 3° より大きく 4° より小さい
① ちょうど 4° である
② 4° より大きく 5° より小さい
③ ちょうど 16° である
④ 48° より大きく 49° より小さい
⑤ ちょうど 49° である
⑥ 49° より大きく 50° より小さい
⑦ 63° より大きく 64° より小さい
⑧ ちょうど 64° である
⑨ 64° より大きく 65° より小さい

三角比の表

〔3〕外接円の半径が 3 である △ABC を考える。点 A から直線 BC に引いた垂線と直線 BC との交点を D とする。

(1) $\text{AB}=5$,$\text{AC}=4$ とする。このとき

$\sin\angle\text{ABC}=\cfrac{\boxed{\textsf{\enspace ソ\enspace}}}{\boxed{\textsf{\enspace タ\enspace}}}$,$\text{AD}=\cfrac{\boxed{\textsf{\enspace チツ\enspace}}}{\boxed{\textsf{\enspace テ\enspace}}}$

である。

(2) 2 辺 AB,AC の長さの間に 2AB + AC = 14 の関係があるとする。

このとき,AB の長さのとり得る値の範囲は $\boxed{\textsf{\enspace ト\enspace}}\leqq\text{AB}\leqq\boxed{\textsf{\enspace ナ\enspace}}$ であり

$\text{AD}=\cfrac{\space\boxed{\textsf{\enspace ニヌ\enspace}}\space}{\boxed{\textsf{\enspace ネ\enspace}}}\space\text{AB}^2+\cfrac{\space\boxed{\textsf{\enspace ノ\enspace}}\space}{\boxed{\textsf{\enspace ハ\enspace}}}\space\text{AB}$

と表せるので,AD の長さの最大値は $\boxed{\enspace\textsf{ヒ}\enspace}$ である。

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