【数IA確率】5枚のコインを3つの箱に入れるときの確率（千葉大2019第4問）
コインが 5 枚ある。さいころを振って出た目によって，これらのコインを 1 枚ずつ 3 つの箱 A，B，C のいずれかに入れていく。出た目が 1 であればコインを 1 枚，箱 A に入れる。出た目が 2 か 3 であればコインを 1 枚，箱 B に入れる。出た目が 4 か 5 か 6 であればコインを 1 枚，箱 C に入れる。さいころを 5 回振ったとき，次の問いに答えよ。
(1) 箱 A と箱 B にコインがそれぞれちょうど 2 枚ずつ入っている確率を求めよ。
(2) A，B いずれの箱にもコインが 1 枚以上入っている確率を求めよ。
箱の組合せを考える
(1) 箱 A と箱 B にコインがそれぞれちょうど 2 枚ずつ入っている確率を求めよ。
箱 A と箱 B に 2 枚ずつコインが入る場合を考えると
AABBC
の組合せになります。5 つの文字の並べかたは 5! 通りありますが，重複している分を割る必要があります。
AABBC の並べ方は
$\cfrac{5!}{2!\cdot2!}$ 通り
よって，求める確率は
$\Big(\cfrac{1}{6}\Big)^2\Big(\cfrac{2}{6}\Big)^2\Big(\cfrac{3}{6}\Big)^1\cdot\cfrac{5!}{2!\cdot2!}$
$=\cfrac{12}{6^5}\cdot\cfrac{2\cdot3\cdot4\cdot5}{2\cdot2}$
$=\cfrac{2}{6^4}\cdot2\cdot3\cdot5$
$=\cfrac{2}{6^3}\cdot5$
$=\cfrac{5}{108}$ （答え）
余事象を考える
(2) A，B いずれの箱にもコインが 1 枚以上入っている確率を求めよ。
ここは余事象を考えたほうが話が早いでしょう。
「A，B いずれの箱にもコインが 1 枚以上入っている」の余事象は，「A または B のどちらかが 0 枚」です。
ただし，これには注意が必要です。A が 0 枚の確率を求めるとき，その中には A と B がともに 0 枚の確率が含まれ，B が 0 枚の確率の中にも A と B がともに 0 枚の確率が含まれるからです。重複している部分は除かなければなりません。
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
A が 0 枚のとき，さいころはすべて 2 ～ 6 のいずれかだから
$\Big(\cfrac{5}{6}\Big)^5$
B が 0 枚のとき，さいころはすべて 1，4，5，6 のいずれかだから
$\Big(\cfrac{4}{5}\Big)^5$
A も B も 0 枚のとき，さいころはすべて 4，5，6 のいずれかだから
$\Big(\cfrac{3}{6}\Big)^5$
よって
$\Big(\cfrac{5}{6}\Big)^5+\Big(\cfrac{4}{6}\Big)^5-\Big(\cfrac{3}{6}\Big)^5$
$=\cfrac{5^5+4^5-3^5}{6^5}$
$=\cfrac{3125+1024-243}{6^5}$
$=\cfrac{3906}{6^5}$
$=\cfrac{217}{432}$
したがって，求める確率は
$1-\cfrac{217}{432}=\cfrac{215}{432}$ （答え）
SNSでシェア