千葉大数IAIIB

【数IA確率】5枚のコインを3つの箱に入れるときの確率(千葉大2019第4問)

コインが 5 枚ある。さいころを振って出た目によって,これらのコインを 1 枚ずつ 3 つの箱 A,B,C のいずれかに入れていく。出た目が 1 であればコインを 1 枚,箱 A に入れる。出た目が 2 か 3 であればコインを 1 枚,箱 B に入れる。出た目が 4 か 5 か 6 であればコインを 1 枚,箱 C に入れる。さいころを 5 回振ったとき,次の問いに答えよ。

(1) 箱 A と箱 B にコインがそれぞれちょうど 2 枚ずつ入っている確率を求めよ。

(2) A,B いずれの箱にもコインが 1 枚以上入っている確率を求めよ。

ad

箱の組合せを考える

(1) 箱 A と箱 B にコインがそれぞれちょうど 2 枚ずつ入っている確率を求めよ。

箱 A と箱 B に 2 枚ずつコインが入る場合を考えると

AABBC

の組合せになります。5 つの文字の並べかたは 5! 通りありますが,重複している分を割る必要があります。

AABBC の並べ方は

$\cfrac{5!}{2!\cdot2!}$ 通り

よって,求める確率は

$\Big(\cfrac{1}{6}\Big)^2\Big(\cfrac{2}{6}\Big)^2\Big(\cfrac{3}{6}\Big)^1\cdot\cfrac{5!}{2!\cdot2!}$
$=\cfrac{12}{6^5}\cdot\cfrac{2\cdot3\cdot4\cdot5}{2\cdot2}$
$=\cfrac{2}{6^4}\cdot2\cdot3\cdot5$
$=\cfrac{2}{6^3}\cdot5$
$=\cfrac{5}{108}$ (答え)

ad

余事象を考える

(2) A,B いずれの箱にもコインが 1 枚以上入っている確率を求めよ。

ここは余事象を考えたほうが話が早いでしょう。

「A,B いずれの箱にもコインが 1 枚以上入っている」の余事象は,「A または B のどちらかが 0 枚」です。

ただし,これには注意が必要です。A が 0 枚の確率を求めるとき,その中には A と B がともに 0 枚の確率が含まれ,B が 0 枚の確率の中にも A と B がともに 0 枚の確率が含まれるからです。重複している部分は除かなければなりません。

和集合の法則だよね。

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

A が 0 枚のとき,さいころはすべて 2 ~ 6 のいずれかだから

$\Big(\cfrac{5}{6}\Big)^5$

B が 0 枚のとき,さいころはすべて 1,4,5,6 のいずれかだから

$\Big(\cfrac{4}{5}\Big)^5$

A も B も 0 枚のとき,さいころはすべて 4,5,6 のいずれかだから

$\Big(\cfrac{3}{6}\Big)^5$

よって

$\Big(\cfrac{5}{6}\Big)^5+\Big(\cfrac{4}{6}\Big)^5-\Big(\cfrac{3}{6}\Big)^5$

$=\cfrac{5^5+4^5-3^5}{6^5}$
$=\cfrac{3125+1024-243}{6^5}$
$=\cfrac{3906}{6^5}$
$=\cfrac{217}{432}$

したがって,求める確率は

$1-\cfrac{217}{432}=\cfrac{215}{432}$ (答え)

タイトルとURLをコピーしました