千葉大数IAIIB

【数IA整数】正の約数の個数の求めかたをざっくり復習する(千葉大2019第3問)

正の約数の個数がちょうど $m$ 個であるような,1900 以上の自然数の中で最小のものを $d_m$ とする。

(1) $d_5$ を求めよ。

(2) $d_{15}$ を求めよ。

ad

約数の個数の求めかた

(1) $d_5$ を求めよ。

約数の数ってどうやって考えるんでしたっけ?

約数の数について簡単におさらいしましょう。

例えば,24 の約数を考えてみましょう。24 を素因数分解すると

$24=2^3\times3$

となります。あとは,2 と 3 の組合せで約数が作れます。

$2^0\times3^0,2^1\times3^0,2^2\times3^0,2^3\times3^0$
$2^0\times3^1,2^1\times3^1,2^2\times3^1,2^3\times3^1$

計算すると $1,2,4,8,3,6,12,24$ となり,これですべての約数が作れました。約数は 8 個です。

組合せを考えると,$2^0$ ~ $2^3$ の 4 通り,$3^0$ から $3^1$ の 2 通り,つまり 4 通り × 2 通り= 8 通り,という計算ができます。

~乗のところを 1 個増やせばいいんですね。

おさらいが終わったところで,$d_5$,つまり約数が 5 個になる場合を考えてみましょう。

上でやったように,ある数が 2 種類の素数の積で表せるとします。上の例なら,$2^3\times3$ なら $4\times2=8$ 通りです。

○×△= 5 通り,というパターンを考えると,1 通り × 5 通り = 5 通りしかありません。

しかし上の例でやったように,素数が 3 なら $3^0$ と $3^1$ の 2 通りが出てきます。つまり 1 通りをつくることができないのです。

ということは約数が 5 個になるパターンは,何らかの素数の 4 乗のときだけ,ということになります。

この条件で 1900 以上の最も小さい数を求めると

$5^4=625$,$7^4=2401$

よって,$d_5=2401$ (答え)

ad

2 つの素数の組合せで考える

(2) $d_{15}$ を求めよ。

(1)でやったことをさらに進めていきましょう。

もし,ある数が素数 1 個の積で表せる場合,もっとも小さい値は

$2^{14}=16384$

です。これはさすがに大きすぎる感じがします。

では,素数 2 個の組合せならどうでしょうか。

この場合は,5 通り × 3 通り = 15 通りとなるパターンが作れます。

これを,$x^4\cdot y^2$ とすると

$2^4\cdot3^2=144$
$2^4\cdot5^2=400$
$2^4\cdot7^2=784$
$2^4\cdot11^2=1936$

よって,$d_{15}=1936$ (答え)

タイトルとURLをコピーしました