【数IA整数】正の約数の個数の求めかたをざっくり復習する(千葉大2019第3問)
正の約数の個数がちょうど 個であるような,1900 以上の自然数の中で最小のものを とする。
(1) を求めよ。
(2) を求めよ。
約数の個数の求めかた
(1) を求めよ。
約数の数ってどうやって考えるんでしたっけ?
約数の数について簡単におさらいしましょう。
例えば,24 の約数を考えてみましょう。24 を素因数分解すると
となります。あとは,2 と 3 の組合せで約数が作れます。
計算すると となり,これですべての約数が作れました。約数は 8 個です。
組合せを考えると, ~ の 4 通り, から の 2 通り,つまり 4 通り × 2 通り= 8 通り,という計算ができます。
~乗のところを 1 個増やせばいいんですね。
おさらいが終わったところで,,つまり約数が 5 個になる場合を考えてみましょう。
上でやったように,ある数が 2 種類の素数の積で表せるとします。上の例なら, なら 通りです。
○×△= 5 通り,というパターンを考えると,1 通り × 5 通り = 5 通りしかありません。
しかし上の例でやったように,素数が 3 なら と の 2 通りが出てきます。つまり 1 通りをつくることができないのです。
ということは約数が 5 個になるパターンは,何らかの素数の 4 乗のときだけ,ということになります。
この条件で 1900 以上の最も小さい数を求めると
,
よって, (答え)
2 つの素数の組合せで考える
(2) を求めよ。
(1)でやったことをさらに進めていきましょう。
もし,ある数が素数 1 個の積で表せる場合,もっとも小さい値は
です。これはさすがに大きすぎる感じがします。
では,素数 2 個の組合せならどうでしょうか。
この場合は,5 通り × 3 通り = 15 通りとなるパターンが作れます。
これを, とすると
よって, (答え)
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