千葉大数IAIIB

【数IA三角比】円に内接する四角形の対角線の長さを求める(千葉大2019第1問)

AB=5,BC=4,CD=4,DA=2

とする。また,対角線 AC と BD の交点を P とおく。

(1) 三角形 APB の外接円の半径を $R_1$,三角形 APD の外接円の半径を $R_2$ とするとき,$\cfrac{R_1}{R_2}$ の値を求めよ。

(2) AC の長さを求めよ。

ad

外接円の半径

(1) 三角形 APB の外接円の半径を $R_1$,三角形 APD の外接円の半径を $R_2$ とするとき,$\cfrac{R_1}{R_2}$ の値を求めよ。

BC=CD=4 より,∠BAC=∠CAD が成り立ちます。

そうすると △ABD において,角の二等分線の性質より BP : DP = 5 :2 が成り立ちます。

ここから,外接円の半径を求めましょう。

正弦定理
△ABC の外接円の半径を $R$ とすると,次が成り立つ。
$\cfrac{a}{\text{sin}A}=\cfrac{b}{\text{sin}B}=\cfrac{c}{\text{sin}C}=2R$

$R_1$ と $R_2$ の比を求めるなら,辺の比である 5:2 をそのまま用いることができます。

∠BAC=∠CAD=$x$ とすると

$\cfrac{5}{\sin x}=2R_1$
$\cfrac{2}{\sin x}=2R_2$

よって

$\cfrac{R_1}{R_2}=\cfrac{5}{2}$ (答え)

ad

余弦定理を利用する

(2) AC の長さを求めよ。

ここは余弦定理を利用しましょう。

円に内接する四角形の性質から

∠ABC+∠ADC=180°

が成り立ちます。

∠ABC=$y$ とすると,∠ADC=$180\degree-y$ となります。

このとき,$\cos$ は

$\cos(180\degree-y)=-\cos y$

となります。

これを利用して

△ABC について,余弦定理より

$\text{AC}^2=5^2+4^2-2\cdot5\cdot4\cos y$ ・・・①

△ADC について

$\text{AC}^2=2^2+4^2-2\cdot2\cdot4\cos(180\degree-y)$
$\text{AC}^2=2^2+4^2+2\cdot2\cdot4\cos y$ ・・・②

それぞれの式を整理すると

$\text{AC}^2=41-40\cos y$ ・・・①’
$\text{AC}^2=20+16\cos y$ ・・・②’

①’×2+②’×5

$\begin{aligned}&2\text{AC}^2&=&82-80\cos y\\+)&5\text{AC}^2&=&100+80\cos y\\\hline&7\text{AC}^2&=&182\end{aligned}$
$\text{AC}^2=26$
$\text{AC}=\sqrt{26}$ (答え)

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