千葉大数IAIIB

【数IA整数】有理数が整数であることを証明する問題(千葉大2020第10問)

有理数 $a,b$ に対して,$(a+bi)^2$ の実部と虚部が整数ならば $a,b$ は整数であることを証明せよ。ただし,$i$ は虚数単位である。

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有理数を分数で表す

この問題はある有理数が整数であることを証明する問題です。

有理数は分数を用いて $\cfrac{q}{p}$ ($p,q$ は互いに素)の形で表すことができます。そしてこれが整数になるのは $p=1$ のときだけです。

分母が 2 でも $\cfrac{4}{2}=2$ で整数になりませんか?

それ,2 と 4 が互いに素の関係になってない。$\cfrac{q}{p}$ は既約分数,つまりこれ以上約分できない状態になってる。その前提なら整数になるのは分母が 1 のときだけのはずよ。

$p,q,r,s$ を整数($p>0,r>0$)として
$a=\cfrac{q}{p}$,$b=\cfrac{s}{r}$
($p,q$ および $s,r$ は互いに素)
とする。

$(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi$

$m,n$ を整数とすると

$\cfrac{q^2}{p^2}-\cfrac{s^2}{r^2}=m$ ・・・①
$\cfrac{2qs}{pr}=n$ ・・・②

ここはいったん①,②を連立して,文字の数を減らす方向で式変形していきましょう。

②より
$\cfrac{s}{r}=\cfrac{np}{2q}$
$\cfrac{s^2}{r^2}=\cfrac{n^2p^2}{4q^2}$

①に代入して
$\cfrac{q^2}{p^2}-\cfrac{n^2p^2}{4q^2}=m$
$\cfrac{4q^4-n^2p^4}{4p^2q^2}=m$
$4q^4-n^2p^4=4mp^2q^4$
$4q^4-4mp^2q^2=n^2p^4$
$4q^2(q^2-mp^2)=n^2p^4$ ・・・③

$p,q$ は互いに素だから,$q^2-mp^2$ は $p^4$ の倍数である。
$k$ を整数として
$q^2-mp^2=kp^4$
とすると,③に代入して
$4q^2\cdot kp^4=n^2p^4$
$4kq^2=n^2$ ・・・④

②の両辺を 2 乗すると
$\cfrac{4q^2s^2}{p^2r^2}=n$
④を代入して
$\cfrac{4q^2s^2}{p^2r^2}=4q^2k$
$\cfrac{s^2}{p^2r^2}=k$
$\cfrac{s^2}{r^2}=kp^2$

右辺は整数なので,左辺も整数でなければ等式は成り立ちません。しかし,$r$ と $s$ は互いに素です。

$r,s$ は互いに素だから,等式が成り立つのは $r=1$ のとき。

①に $r=1$ を代入すると

$\cfrac{q^2}{p^2}-s^2=m$
$\cfrac{q^2}{p^2}=m+s^2$

$p,q$ は互いに素だから,等式が成り立つのは $p=1$ のとき。

$p=1$

したがって,$(a+bi)^2$ の実部と虚部が整数ならば $a,b$ は整数である。(証明終わり)

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