【数IA場合の数・数III極限】Cをより深く理解するための練習問題(千葉大2020第9問)

二項定理

$\displaystyle a_n=\sum_{k=0}^n {}_n\text{C}_k$

たとえば，$n=3$ なら
$a_n={}_3\text{C}_0+{}_3\text{C}_1+{}_3\text{C}_2+{}_3\text{C}_3$
となります。

二項定理はたとえば $(a+b)^3$ なら
$={}_3\text{C}_0a^3b^0+{}_3\text{C}_1a^2b^1+{}_3\text{C}_2a^1b^2+{}_3\text{C}_3a^0b^3$
でした。
もし，ここで $a$ と $b$ を 1 としたら，上の式と同じ形になります。
つまり
$a_n=(1+1)^n=2^n$　（答え）

C の定義を利用する

$\displaystyle b_n=\sum_{k=0}^n {}_n\text{C}_k k$

$k=0$ のとき，${}_n\text{C}_k k$ は 0 になるので，この式は

$\displaystyle b_n=\sum_{k=1}^n {}_n\text{C}_k k$

と同じことです。

ここからは，C の定義を用いる必要があります。

この式の分子は $5\cdot4\cdot3$ ですが，これは 5 の階乗を 2 の階乗で割るという計算になおすことができます。

${}_5\text{C}_3=\cfrac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{3\cdot2\cdot1\cdot(2\cdot1)}=\cfrac{5!}{3!(5-3)!}$

これが C の定義になります。

${}_n\text{C}_r=\cfrac{n!}{r!(n-r)!}$

よって

$\displaystyle b_n=\sum_{k=1}^n \cfrac{n!}{k!(n-k)!}\cdot k$

ここで
$\cfrac{k}{k!}=\cfrac{\cancel{k}}{1\cdot2\cdot3\cdots(k-1)\cdot\cancel{k}}=\cfrac{1}{(k-1)!}$
となるので
$\displaystyle b_n=\sum_{k=1}^n \cfrac{n!}{(k-1)!(n-k)!}$

また
$n!=1\cdot2\cdot3\cdots(n-1)\cdot n$
$=(n-1)!\cdot n$
となるので

$\displaystyle b_n=n\sum_{k=1}^n \cfrac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}$

さらに
$n-k=(n-1)-(k-1)$
だから
$\displaystyle b_n=n\sum_{k=1}^n \cfrac{(n-1)!}{(k-1)!\{(n-1)-(k-1)\}!}$

$\displaystyle b_n=n\sum_{k=1}^n {}_{n-1}\text{C}_{k-1}$

あとは (1)でやったように，二項定理で考えます。

$=n\cdot2^{n-1}$　（答え）

2 項定理を利用するときの注意点

$\displaystyle c_n=\sum_{k=0}^n \cfrac{{}_n\text{C}_k}{k+1}$

(2)と同様に C の定義で考えていきます。

$\displaystyle=\sum_{k=0}^n \cfrac{1}{k+1}\cdot\cfrac{n!}{k!(n-k)!}$

ここで，$k!\cdot(k+1)=(k+1)!$ だから
$\displaystyle=\sum_{k=0}^n\cfrac{n!}{(k+1)!(n-k)!}$

$(n+1)!=n!\cdot(n+1)$ より

$\displaystyle=\cfrac{1}{n+1}\sum_{k=0}^n\cfrac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}$
$\displaystyle=\cfrac{1}{n+1}\sum_{k=0}^n\cfrac{(n+1)!}{(k+1)!\{(n+1)-(k+1)\}!}$
$\displaystyle=\cfrac{1}{n+1}\sum_{k=0}^n{}_{n+1}\text{C}_{k+1}$

ここから 2 項定理にもちこむときに注意が必要です。

最初の話に戻ると
$(a+b)^3={}_3\text{C}_0a^3b^0+{}_3\text{C}_1a^2b^1+{}_3\text{C}_2a^1b^2+{}_3\text{C}_3a^0b^3$
のように，2 項定理は ${}_3\text{C}_0$ の項から始まります。つまり
${}_{n+1}\text{C}_0+{}_{n+1}\text{C}_1+\cdots{}_{n+1}\text{C}_{n+1}=(1+1)^{n+1}$
としたいのですが
$\displaystyle\sum_{k=0}^n{}_{n+1}\text{C}_{k+1}={}_{n+1}\text{C}_1+{}_{n+1}\text{C}_2+\cdots$
となるので，2 項定理になおすときに ${}_{n+1}\text{C}_0$ の項が足りません。そこで

$\displaystyle=\cfrac{1}{n+1}\sum_{k=0}^n{}_{n+1}\text{C}_{k+1}$
$\displaystyle=\cfrac{1}{n+1}\Big\{\sum_{k=0}^n{}_{n+1}\text{C}_{k+1}+{}_{n+1}\text{C}_0-{}_{n+1}\text{C}_0\Big\}$

として，つじつま合わせをします。

$\displaystyle=\cfrac{1}{n+1}\Big\{2^{n+1}-{}_{n+1}\text{C}_0\Big\}$
$\displaystyle=\cfrac{1}{n+1}(2^{n+1}-1)$　（答え）

さらに C の定義を利用する

$\displaystyle d_n=\sum_{k=0}^n {}_n\text{C}_k k^2$

$k=0$ のとき ${}_n\text{C}_kk^2=0$ なので

$\displaystyle=\sum_{k=1}^n\cfrac{n!}{k!(n-k)!}\cdot k^2$
$\displaystyle=\sum_{k=1}^n\cfrac{n!}{(k-1)!(n-k)!}\cdot k$

$k$ を細工して $k=k-1+1$ とします。

$\displaystyle=\sum_{k=1}^n\cfrac{n!}{(k-1)!(n-k)!}\cdot\{(k-1)+1\}$
$\displaystyle=\sum_{k=1}^n\cfrac{n!}{(k-1)!(n-k)!}\cdot(k-1)+\sum_{k=1}^n\cfrac{n!}{(k-1)!(n-k)!}$

ここも，$k=1$ のとき $(k-1)$ の部分が 0 になるので

$\displaystyle=\sum_{k=2}^n\cfrac{n!}{(k-2)!(n-k)!}+\sum_{k=1}^n\cfrac{n!}{(k-1)!(n-k)!}$

あとは(2)でやった計算を思い出しながら進めていきましょう。

$\displaystyle=n(n-1)\sum_{k=2}^n\cfrac{(n-2)!}{(k-2)!(n-k)!}+n\sum_{k=1}^n\cfrac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}$
$\displaystyle=n(n-1)\sum_{k=2}^n{}_{n-2}\text{C}_{k-2}+n\sum_{k=1}^n{}_{n-1}\text{C}_{k-1}$
$=n(n-1)\cdot2^{n-2}+n\cdot2^{n-1}$
$=n(n-1)\cdot2^{n-2}+2n\cdot2^{n-2}$
$=\{n-1+2\}\cdot n\cdot2^{n-2}$
$=n(n+1)\cdot2^{n-2}$　（答え）

極限を求める

$\cfrac{a_nb_n}{c_nd_n}$
$=\cfrac{2^n\cdot n\cdot2^{n-1}}{\cfrac{2^{n+1}-1}{n+1}\cdot n(n+1)\cdot2^{n-2}}$
$=\cfrac{2^n\cdot2^{n-1}}{(2^{n+1}-1)\cdot2^{n-2}}$
$=\cfrac{2^{n+n-1-n+2}}{2^{n+1}-1}$
$=\cfrac{2^{n+1}}{2^{n+1}-1}$

となるので

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\cfrac{a_nb_n}{c_nd_n}$

$\displaystyle=\lim_{n\rightarrow\infty}\cfrac{2^{n+1}}{2^{n+1}-1}$

分母・分子を $2^{n+1}$ で割ると

$\displaystyle=\lim_{n\rightarrow\infty}\cfrac{1}{1-\cfrac{1}{2^{n+1}}}$
$=\cfrac{1}{1-0}=1$　（答え）