千葉大数IAIIB

【数IA確率】3で割った余りの合計を考える(千葉大2020第6問)

袋の中に 1 から 5 までの整数が書かれたカードが 1 枚ずつ入っている。その中から 1 枚取り出して戻すという試行を繰り返す。$n$ 回目に取り出したカードに書かれた整数を $a_n$ とし,$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ とする。$n$ 回目に初めて $S_n$ が 3 の倍数になる確率を $p_n$ とする。
(1) $p_2,p_3$ を求めよ。
(2) $n\geqq2$ のとき,$p_n$ を求めよ。
(3) $n\geqq4$ とする。$S_1,S_2,S_3$ が 3 の倍数でなく $a_3=5$ であったとき,$n$ 回目に初めて $S_n$ が 3 の倍数になる条件付き確率 $q_n$ を求めよ。

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2 回目,3 回目に 3 の倍数になる確率

(1) $p_2,p_3$ を求めよ。

$p_2$ から考えます。

2 枚目で 3 の倍数になる組合せを考えると

(1,2),(1,5),(2,1),(2,4)
(4,1),(4,5),(5,1),(5,4)

の 8 通り。よって求める確率は

$p_2=\cfrac{8}{5^2}=\cfrac{8}{25}$ (答え)

次に $p_3$ を考えます。

とはいえ,数が 3 つになると上の方法で考えるのはやっかいです。カードの合計が 3 の倍数になる条件をもう少し掘り下げて考えてみましょう。

まず,最初に $\boxed{3}$ を引いてしまうとそこで終わってしまうので,1 番目のカードは $\boxed{1},\boxed{2},\boxed{4},\boxed{5}$ のいずれかでなければなりません。

そして,カードの数を 3 で割った余りを考えます。もし1 枚目が $\boxed{1}$ で 2 枚目が $\boxed{2}$ か $\boxed{5}$ だと,その合計は 3 の倍数になってしまいます。2 または 5 を 3 で割った余りは 2 です。つまり,3 で割った余りどうしを足して,$1+2=3$ となると,それは 3 の倍数であると考えることができるのです。

カードを 3 で割った余りについて,1 枚目+2 枚目が 3 の倍数ではなく,3 枚目で 3 の倍数になるパターンを考えると

1+0+2 1+1+1
2+0+1 2+2+2

となります。3 で割った余りが 1 になるカードは $\boxed{1},\boxed{4}$,余りが 2 になるカードは $\boxed{2},\boxed{5}$ で,それぞれ 2 通りあります。また,余りが 0 になるカードは $\boxed{3}$ です。

確率を考えましょう。たとえば,1+0+2 のパターンなら

$\begin{matrix}\cfrac{2}{5}&\times&\cfrac{1}{5}&\times&\cfrac{2}{5}\\\boxed{1}\textsf{か}\boxed{4}&&\boxed{3}&&\boxed{2}\textsf{か}\boxed{5}\end{matrix}$

となります。4 つのパターンを足し合わせると

$\cfrac{2}{5}\cdot\cfrac{1}{5}\cdot\cfrac{2}{5}+\cfrac{2}{5}\cdot\cfrac{2}{5}\cdot\cfrac{2}{5}+\cfrac{2}{5}\cdot\cfrac{1}{5}\cdot\cfrac{2}{5}+\cfrac{2}{5}\cdot\cfrac{2}{5}\cdot\cfrac{2}{5}$
$=\cfrac{4+8+4+8}{125}$
$=\cfrac{24}{125}$ (答え)

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漸化式をつくる

(2) $n\geqq2$ のとき,$p_n$ を求めよ。

ここは(1)と同様にカードの値を 3 で割った余りで考えると理解しやすいでしょう。
たとえば,$p_4$ を考えてみます。このとき 3 枚目までの合計が 3 の倍数にならず 4 枚目ではじめて 3 の倍数になります。

$\boxed{1}\textsf{か}\boxed{4}\rightarrow\boxed{1}\textsf{か}\boxed{4}\textsf{か}\boxed{3}$

1 枚目が $\boxed{1}$ か $\boxed{4}$ の場合,2 枚目に $\boxed{2}$ か $\boxed{5}$ がくると終了なので,それ以外を引きます。この時点で,合計を 3 で割った余りは 1 か 2 です。

次に 3 枚目です。2 枚目までの合計を 3 で割った余りが 1 なら次は $\boxed{1}$ か $\boxed{4}$ か $\boxed{3}$,余りが 2 なら $\boxed{2}$ か $\boxed{5}$ か $\boxed{3}$ を引けば 3 の倍数になりません。

そして 4 枚目。3 枚目までの合計を 3 で割った余りが 1 なら次は $\boxed{2}$ か $\boxed{5}$,余りが 2 なら $\boxed{1}$ か $\boxed{4}$ を引けば 3 の倍数になります。

話をまとめると,1 枚目は $\boxed{3}$ 以外のカード引く,2 枚目から $n-1$ 枚目までは合計が 3 の倍数にならない 3 つのカードのいずれか,$n$ 枚目は合計が 3 の倍数になるように 2 つのカードのいずれかを引く,という流れになります。

$\begin{matrix}\cfrac{4}{5}&\times&\Big(\cfrac{3}{5}\times\cfrac{3}{5}\times\cdots\times\cfrac{3}{5}\Big)&\times&\cfrac{2}{5}\\\textsf{1枚目}&&n-2\textsf{枚}&&n\textsf{枚目}\end{matrix}$

よって,求める確率は

$\cfrac{4}{5}\cdot\Big(\cfrac{3}{5}\Big)^{n-2}\cdot\cfrac{2}{5}=\cfrac{8\cdot3^{n-2}}{5^2\cdot5^{n-2}}$
$=\cfrac{8\cdot3^{n-2}}{5^n}$ (答え)

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条件付き確率

(3) $n\geqq4$ とする。$S_1,S_2,S_3$ が 3 の倍数でなく $a_3=5$ であったとき,$n$ 回目に初めて $S_n$ が 3 の倍数になる条件付き確率 $q_n$ を求めよ。

まず,$S_1,S_2$ が 3 の倍数でない,かつ $a_3=5$ である確率を求めます。もちろん,3 枚目を引いたときに $S_3$ が 3 の倍数にならないようにしなければなりません。

5 を 3 で割った余りが 2 であることから逆算して 1 枚目,2 枚目を決めます。可能な組合せは

1+1+2 2+0+2

があります。2 枚目および 3 枚目を足したときに 3 の倍数にならないような組合せを考えましょう。

3 で割った余りが 1 になるのは,$\boxed{1},\boxed{4}$ の 2 通り,余りが 2 になるのは $\boxed{2},\boxed{5}$ の 2 通り,余りが 0 になるのは $\boxed{3}$ の 1 通りでした。よって確率は

$\cfrac{2}{5}\cdot\cfrac{2}{5}\cdot\cfrac{1}{5}+\cfrac{2}{5}\cdot\cfrac{1}{5}\cdot\cfrac{1}{5}$
$=\cfrac{6}{125}$

これと(2)をもとに,$n$ 枚目ではじめて 3 の倍数になる確率を考えると

$\begin{matrix}\cfrac{6}{125}&\times&\Big(\cfrac{3}{5}\times\cfrac{3}{5}\times\cdots\times\cfrac{3}{5}\Big)&\times&\cfrac{2}{5}\\\textsf{1~3枚目}&&n-4\textsf{枚}&&n\textsf{枚目}\end{matrix}$

となります。

したがって,求める条件付き確率は

$\cfrac{\cfrac{6}{125}\cdot\Big(\cfrac{3}{5}\Big)^{n-4}\cdot\cfrac{2}{5}}{\cfrac{6}{125}}$
$=\Big(\cfrac{3}{5}\Big)^{n-4}\cdot\cfrac{2}{5}$
$=\cfrac{3^{n-4}\cdot2}{5^{n-4}\cdot5}$
$=\cfrac{2\cdot3^{n-4}}{5^{n-3}}$ (答え)

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