千葉大数IAIIB

【数IA図形・数IIBベクトル】四面体と三平方の定理(千葉大2020第5問)

四面体 ABCD において,$\text{AB}^2+\text{CD}^2=\text{BC}^2+\text{AD}^2=\text{AC}^2+\text{BD}^2$,$\angle\text{ADB}=90\degree$ が成り立っている。三角形 ABC の重心を G とする。
(1) $\angle\text{BDC}$ を求めよ。
(2) $\cfrac{\sqrt{\text{AB}^2+\text{CD}^2}}{\text{DG}}$ の値を求めよ。

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三平方の定理を利用する

(1) $\angle\text{BDC}$ を求めよ。

△ABD は直角三角形なので,三平方の定理を用いて
$\text{AD}^2+\text{BD}^2=\text{AB}^2$
が成り立ちます。
これを利用すると,新しい式がつくれそうです。
$\begin{aligned}&\text{AB}^2+\text{CD}^2&=\text{BC}^2+\text{AD}^2\\-)&\text{AB}^2&=\text{AD}^2+\text{BD}^2\\\hline&\text{CD}^2&=\text{BC}^2-\text{BD}^2\end{aligned}$
移項して
$\text{CD}^2+\text{BD}^2=\text{BC}^2$
これは三平方の定理なので $\angle\text{BDC}=90\degree$ が成り立ちます。(答え)
同様にして
$\begin{aligned}&\text{AB}^2+\text{CD}^2&=\text{AC}^2+\text{BD}^2\\-)&\text{AB}^2&=\text{AD}^2+\text{BD}^2\\\hline&\text{CD}^2&=\text{AC}^2-\text{AD}^2\end{aligned}$
$\text{CD}^2+\text{AD}^2=\text{AC}^2$
よって,$\angle\text{ADC}=90\degree$ が成り立ちます。

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三角形の重心とベクトル

(2) $\cfrac{\sqrt{\text{AB}^2+\text{CD}^2}}{\text{DG}}$ の値を求めよ。

三角形の重心はベクトルを用いて次のように表せます。

$\overrightarrow{\text{DG}}=\cfrac{1}{3}(\overrightarrow{\text{DA}}+\overrightarrow{\text{DB}}+\overrightarrow{\text{DC}})$
両辺を 2 乗すると
$|\overrightarrow{\text{DG}}|^2=\cfrac{1}{9}(\overrightarrow{\text{DA}}+\overrightarrow{\text{DB}}+\overrightarrow{\text{DC}})^2$

ここは展開の公式があったことを思い出しましょう。

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$

$=\cfrac{1}{9}(|\overrightarrow{\text{DA}}|^2+|\overrightarrow{\text{DB}}|^2+|\overrightarrow{\text{DC}}|^2+2\overrightarrow{\text{DA}}\cdot\overrightarrow{\text{DB}}+2\overrightarrow{\text{DB}}\cdot\overrightarrow{\text{DC}}+2\overrightarrow{\text{DC}}\cdot\overrightarrow{\text{DA}})$

(1)の結果から,三平方の定理を当てはめていきましょう。

△ADB,△ADC,△BDC はそれぞれ直角三角形だから
$\text{AD}^2+\text{BD}^2=\text{AB}^2$
$\overrightarrow{\text{DA}}\cdot\overrightarrow{\text{DB}}=\overrightarrow{\text{DB}}\cdot\overrightarrow{\text{DC}}=\overrightarrow{\text{DC}}\cdot\overrightarrow{\text{DA}}=0$
が成り立つ。よって
$\text{DG}^2=\cfrac{1}{9}(\text{AB}^2+\text{CD}^2)$
これを問題文の式で利用しましょう。
$\cfrac{\sqrt{\text{AB}^2+\text{CD}^2}}{\text{DG}}$ を 2 乗すると

$\cfrac{\text{AB}^2+\text{CD}^2}{\text{DG}^2}$
$=\cfrac{\text{AB}^2+\text{CD}^2}{\cfrac{1}{9}(\text{AB}^2+\text{CD}^2)}$
$=9$

したがって

$\cfrac{\sqrt{\text{AB}^2+\text{CD}^2}}{\text{DG}}=3$ (答え)

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