【数IA図形・数IIBベクトル】四面体と三平方の定理（千葉大2020第5問）

三平方の定理を利用する

△ABD は直角三角形なので，三平方の定理を用いて
$\text{AD}^2+\text{BD}^2=\text{AB}^2$
が成り立ちます。
これを利用すると，新しい式がつくれそうです。
$\begin{aligned}&\text{AB}^2+\text{CD}^2&=\text{BC}^2+\text{AD}^2\\-)&\text{AB}^2&=\text{AD}^2+\text{BD}^2\\\hline&\text{CD}^2&=\text{BC}^2-\text{BD}^2\end{aligned}$
移項して
$\text{CD}^2+\text{BD}^2=\text{BC}^2$
これは三平方の定理なので $\angle\text{BDC}=90\degree$ が成り立ちます。（答え）
同様にして
$\begin{aligned}&\text{AB}^2+\text{CD}^2&=\text{AC}^2+\text{BD}^2\\-)&\text{AB}^2&=\text{AD}^2+\text{BD}^2\\\hline&\text{CD}^2&=\text{AC}^2-\text{AD}^2\end{aligned}$
$\text{CD}^2+\text{AD}^2=\text{AC}^2$
よって，$\angle\text{ADC}=90\degree$ が成り立ちます。

三角形の重心とベクトル

(2) $\cfrac{\sqrt{\text{AB}^2+\text{CD}^2}}{\text{DG}}$ の値を求めよ。

三角形の重心はベクトルを用いて次のように表せます。

$\overrightarrow{\text{DG}}=\cfrac{1}{3}(\overrightarrow{\text{DA}}+\overrightarrow{\text{DB}}+\overrightarrow{\text{DC}})$
両辺を 2 乗すると
$|\overrightarrow{\text{DG}}|^2=\cfrac{1}{9}(\overrightarrow{\text{DA}}+\overrightarrow{\text{DB}}+\overrightarrow{\text{DC}})^2$

ここは展開の公式があったことを思い出しましょう。

$=\cfrac{1}{9}(|\overrightarrow{\text{DA}}|^2+|\overrightarrow{\text{DB}}|^2+|\overrightarrow{\text{DC}}|^2+2\overrightarrow{\text{DA}}\cdot\overrightarrow{\text{DB}}+2\overrightarrow{\text{DB}}\cdot\overrightarrow{\text{DC}}+2\overrightarrow{\text{DC}}\cdot\overrightarrow{\text{DA}})$

(1)の結果から，三平方の定理を当てはめていきましょう。

△ADB，△ADC，△BDC はそれぞれ直角三角形だから
$\text{AD}^2+\text{BD}^2=\text{AB}^2$
$\overrightarrow{\text{DA}}\cdot\overrightarrow{\text{DB}}=\overrightarrow{\text{DB}}\cdot\overrightarrow{\text{DC}}=\overrightarrow{\text{DC}}\cdot\overrightarrow{\text{DA}}=0$
が成り立つ。よって
$\text{DG}^2=\cfrac{1}{9}(\text{AB}^2+\text{CD}^2)$
これを問題文の式で利用しましょう。
$\cfrac{\sqrt{\text{AB}^2+\text{CD}^2}}{\text{DG}}$ を 2 乗すると

$\cfrac{\text{AB}^2+\text{CD}^2}{\text{DG}^2}$
$=\cfrac{\text{AB}^2+\text{CD}^2}{\cfrac{1}{9}(\text{AB}^2+\text{CD}^2)}$
$=9$

したがって

$\cfrac{\sqrt{\text{AB}^2+\text{CD}^2}}{\text{DG}}=3$　（答え）