千葉大数IAIIB

【数IA】4の倍数になるのはどんなとき?4ケタの数字をつくるときの確率(千葉大2020第1問)

A さんは 1 が書かれたカードを 1 枚,2 が書かれたカードを 2 枚,4 が書かれたカードを 1 枚,計 4 枚を無作為に横一列に並べて 4 桁の数 $X$ を作る。B さんは 2 が書かれたカードを 2 枚,3 が書かれたカードを 2 枚,計 4 枚を無作為に横一列に並べて 4 桁の数 $Y$ を作る。

(1) $X$ が 4 の倍数となる確率を求めよ。

(2) $X<Y$ となる確率を求めよ。

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4の倍数になるとき

(1) $X$ が 4 の倍数となる確率を求めよ。

A $\boxed{1}\space\boxed{2}\space\boxed{2}\space\boxed{4}$
B $\boxed{2}\space\boxed{2}\space\boxed{3}\space\boxed{3}$

4 の倍数って条件ありましたよね。

下 2 桁が 4 の倍数。

100 の倍数は 4 で割り切れます。そのため,ある数が 4 で割り切れるか(4の倍数であるか)どうかは,下 2 ケタだけ考えればよいことになります。たとえば,5624 なら

$5624=5600+24=4\times25\times56+4\times6$
$=4\times(25\times56+6)$

と変形できるので,4 の倍数です。

というわけで,下 2 ケタが 4 の倍数になるという条件で確率を求めましょう。

まず,4 枚のカードを並べる組合せは 4! 通りです。ただし,2 が 2 枚重複しているので,このようなときは 2! で割りましょう。よって

$\cfrac{4!}{2!}=\cfrac{2\cdot3\cdot4}{2}=12$ 通り

下 2 桁が 4 の倍数になるのは

$X=1224,2124,2412,4212$

の 4 通り。

したがって,求める確率は

$\cfrac{4}{12}=\cfrac{1}{3}$ (答え)

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12 通りをそれぞれ検討する

(2) $X<Y$ となる確率を求めよ。

まず,$Y$ の並べ方が何通りあるか数えましょう。2 と 3 がそれぞれ重複するので

$\cfrac{4!}{2!2!}=\cfrac{2\cdot3\cdot4}{2\cdot2}=6$ 通り

$X$ は 12 通りなので,それぞれについて $X<Y$ になる場合を考えてみましょう。

(i) $X=1224,1242,1422,2124,2142,2214$ のとき

$Y$ の最小値は $2233$ なので,$X$ が上のようになる場合は,$Y$ がどんな値でも $X<Y$ が成り立ちます。$Y$ がどんな値でも良いなら,その確率は 1 ということです。

$\cfrac{6}{12}\times1=\cfrac{6}{12}$

ここで 12 通りのうち 6 通りは片付いた。

(ii) $X=2241$ のとき

こうなると,$X<Y$ になる場合が絞られます。

$X<Y$ となるとき

$Y=2323,2332,3223,3232,3322$

$\cfrac{1}{12}\times\cfrac{5}{6}=\cfrac{5}{12\cdot6}$

(iii) $X=2412,2421$ のとき

$X<Y$ となる $Y$ は

$Y=3223,3232,3322$

$\cfrac{2}{12}\times\cfrac{3}{6}=\cfrac{1}{12}$

$X$ の残りは $4122,4212,4221$ です。これで 12 通り全部ということになります。

とはいえ,$Y$ の最大値は 3322 なので,これらの $X$ はすべて $Y$ を上回ることになります。

よって,求める確率は

$\cfrac{6}{12}+\cfrac{5}{12\cdot6}+\cfrac{1}{12}$
$=\cfrac{36+5+6}{72}=\cfrac{47}{72}$ (答え)

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