【数IA】4の倍数になるのはどんなとき？4ケタの数字をつくるときの確率(千葉大2020第1問)

4の倍数になるとき

A $\boxed{1}\space\boxed{2}\space\boxed{2}\space\boxed{4}$
B $\boxed{2}\space\boxed{2}\space\boxed{3}\space\boxed{3}$

100 の倍数は 4 で割り切れます。そのため，ある数が 4 で割り切れるか（4の倍数であるか）どうかは，下 2 ケタだけ考えればよいことになります。たとえば，5624 なら

$5624=5600+24=4\times25\times56+4\times6$
$=4\times(25\times56+6)$

と変形できるので，4 の倍数です。

というわけで，下 2 ケタが 4 の倍数になるという条件で確率を求めましょう。

まず，4 枚のカードを並べる組合せは 4! 通りです。ただし，2 が 2 枚重複しているので，このようなときは 2! で割りましょう。よって

$\cfrac{4!}{2!}=\cfrac{2\cdot3\cdot4}{2}=12$ 通り

下 2 桁が 4 の倍数になるのは

$X=1224,2124,2412,4212$

の 4 通り。

したがって，求める確率は

$\cfrac{4}{12}=\cfrac{1}{3}$ （答え）

12 通りをそれぞれ検討する

まず，$Y$ の並べ方が何通りあるか数えましょう。2 と 3 がそれぞれ重複するので

$\cfrac{4!}{2!2!}=\cfrac{2\cdot3\cdot4}{2\cdot2}=6$ 通り

$X$ は 12 通りなので，それぞれについて $X<Y$ になる場合を考えてみましょう。

(i) $X=1224,1242,1422,2124,2142,2214$ のとき

$Y$ の最小値は $2233$ なので，$X$ が上のようになる場合は，$Y$ がどんな値でも $X<Y$ が成り立ちます。$Y$ がどんな値でも良いなら，その確率は 1 ということです。

$\cfrac{6}{12}\times1=\cfrac{6}{12}$

(ii) $X=2241$ のとき

こうなると，$X<Y$ になる場合が絞られます。

$X<Y$ となるとき

$Y=2323,2332,3223,3232,3322$

$\cfrac{1}{12}\times\cfrac{5}{6}=\cfrac{5}{12\cdot6}$

(iii) $X=2412,2421$ のとき

$X<Y$ となる $Y$ は

$Y=3223,3232,3322$

$\cfrac{2}{12}\times\cfrac{3}{6}=\cfrac{1}{12}$

$X$ の残りは $4122,4212,4221$ です。これで 12 通り全部ということになります。

とはいえ，$Y$ の最大値は 3322 なので，これらの $X$ はすべて $Y$ を上回ることになります。

よって，求める確率は

$\cfrac{6}{12}+\cfrac{5}{12\cdot6}+\cfrac{1}{12}$
$=\cfrac{36+5+6}{72}=\cfrac{47}{72}$ （答え）