千葉大数IAIIB

【数IA確率】袋から白球と黒球を取り出す確率(千葉大2021第5問)

袋に白球と黒球が 5 個ずつ入っている。以下のゲームを $n$ 回続けて行う。

袋から 1 個の球を取り出す。それが白球ならば 1 点獲得する。黒球ならばさいころを投げ,出た目が 3 の倍数ならば 1 点獲得し,そうでなければ得点しない。袋から取り出した球は戻さない。

(1) $n=2$ の場合,総得点が 2 点となる確率を求めよ。

(2) $n=4$ の場合,総得点が 2 点以上となる確率を求めよ。

(3) $n=10$ の場合,総得点が 8 点以上となる確率を求めよ。

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総得点が 2 点のとき

(1) $n=2$ の場合,総得点が 2 点となる確率を求めよ。

白球を引く場合を A,黒球を引いてかつ 1 点獲得する場合を B,黒球を引いて得点を獲得しない場合を C として話を進めていきます。

そうすると,2 点となるのは

AA,AB,BA,BB

のときです。
さいころの目が 3 の倍数となるのは,3 か 6 のときなので,確率は $\cfrac{2}{6}=\cfrac{1}{3}$ です。

それぞれの確率を求めると

AA $\cfrac{5}{10}\cdot\cfrac{4}{9}=\cfrac{2}{9}$

始め 10 個の球がありそのうち白球は 5 個あります。そこから白球を 1 個引くと残りは 4 個になります。2 回目に球を引くとき,全体の球の数は 9 個になっているので,9 個から白球を引く確率は $\cfrac{4}{9}$ となります。

その他の場合について確率を求めると

AB $\cfrac{5}{10}\Big(\cfrac{5}{9}\cdot\cfrac{1}{3}\Big)=\cfrac{5}{54}$
BA $\big(\cfrac{5}{10}\cdot\cfrac{1}{3}\Big)\cdot\cfrac{5}{9}=\cfrac{5}{54}$
BB $\Big(\cfrac{5}{10}\cdot\cfrac{1}{3}\Big)\Big(\cfrac{4}{9}\cdot\cfrac{1}{3}\Big)=\cfrac{2}{81}$

したがって,求める確率は

$\cfrac{2}{9}+\cfrac{5}{54}+\cfrac{5}{54}+\cfrac{2}{81}$
$=\cfrac{35}{81}$ (答え)

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余事象を求める

(2) $n=4$ の場合,総得点が 2 点以上となる確率を求めよ。

ここは余事象を用います。

(i) 総得点が 0 点のとき

CCCC

$\cfrac{5\cdot4\cdot3\cdot2}{10\cdot9\cdot8\cdot7}\times\Big(\cfrac{2}{3}\Big)^4$
$=\cfrac{8}{3^5\cdot7}$

(ii) 総得点が 1 点のとき

ACCC

$\cfrac{5}{10}\times\cfrac{5\cdot4\cdot3}{9\cdot8\cdot7}\times\Big(\cfrac{2}{3}\Big)^3$
$=\cfrac{10}{3^4\cdot7}$

そして,このようになるパターンは ACCC,CACC,CCAC,CCCA の 4 通りがあるので

$\cfrac{10}{3^4\cdot7}\times4=\cfrac{40}{3^4\cdot7}$

BCCC

$\cfrac{5}{10}\times\cfrac{1}{3}\times\cfrac{4\cdot3\cdot2}{9\cdot8\cdot7}\times\Big(\cfrac{2}{3}\Big)^3$
$=\cfrac{4}{3^5\cdot7}$

同様に,このようになるパターンは BCCC,CBCC,CCBC,CCCB の 4 通りがあるので

$\cfrac{4}{3^5\cdot7}\times4=\cfrac{16}{3^5\cdot7}$

よって,余事象を求めると

$1-\Big(\cfrac{8}{3^5\cdot7}+\cfrac{40}{3^4\cdot7}+\cfrac{16}{3^5\cdot7}\Big)$
$=1-\cfrac{144}{3^5\cdot7}$
$=1-\cfrac{16}{189}$
$=\cfrac{173}{189}$ (答え)

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8 点以上の組合せ

(3) $n=10$ の場合,総得点が 8 点以上となる確率を求めよ。

袋の中にはもともと球は 10 個あるので,それらを全部取り出すことになります。

(i) 総得点が 8 点のとき

AAAAABBBCC

組合せとしては白球 8 個,黒球を引いて得点を獲得するものが 3 個,黒球を引いて得点を獲得しないものが 2 個です。

$\cfrac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}\times\cfrac{5\cdot4\cdot3}{5\cdot4\cdot3}\times\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^3\times\cfrac{2\cdot1}{2\cdot1}\times\Big(\cfrac{2}{3}\Big)^2$
$=\cfrac{5!5!}{10!}\times\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^3\times\Big(\cfrac{2}{3}\Big)^2$
$=\cfrac{1}{3^7\cdot7}$

そして上の組合せは,たとえば ABCAACBBAA のように順番を並べ替えたものも数えなければなりません。よって

$\cfrac{1}{3^7\cdot7}\times\cfrac{10!}{5!3!2!}$
$=\cfrac{1}{3^7\cdot7}\times\cfrac{6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot10}{2\cdot3\cdot2}$
$=\cfrac{40}{3^5}$

(ii) 総得点が 9 点のとき

AAAAABBBBC

$=\cfrac{5!5!}{10!}\times\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^4\times\cfrac{2}{3}$
$=\cfrac{1}{2\cdot3^7\cdot7}$

並べ替えたものを数えると

$\cfrac{1}{2\cdot3^7\cdot7}\times\cfrac{10!}{5!4!1!}$
$=\cfrac{10}{3^5}$

(iii) 総得点が 10 点のとき

AAAAABBBBB
$=\cfrac{5!5!}{10!}\times\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^5$
$=\cfrac{1}{2^2\cdot3^7\cdot7}$

並べ替えたものを数えると

$\cfrac{1}{2^2\cdot3^7\cdot7}\times\cfrac{10!}{5!5!}$
$=\cfrac{1}{3^5}$

したがって,求める確率は

$\cfrac{40}{3^5}+\cfrac{10}{3^5}+\cfrac{1}{3^5}$
$=\cfrac{17}{81}$ (答え)

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