千葉大数IAIIB

【数IA】袋から白球と黒球を取り出すときの確率(千葉大2021第3問)

袋に白球と黒球が 5 個ずつ入っている。以下のゲームを $n$ 回続けて行う。

袋から 1 個の球を取り出す。それが白球ならば 1 点獲得する。黒球ならばさいころを投げ,出た目が 3 の倍数ならば 1 点獲得し,そうでなければ得点しない。袋から取り出した球は戻さない。

(1) $n=2$ の場合,総得点が 2 点となる確率を求めよ。

(2) $n=3$ の場合,総得点が 2 点以上となる確率を求めよ。

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得点が 2 点になるとき

(1) $n=2$ の場合,総得点が 2 点となる確率を求めよ。

黒球を引いてかつ 1 点獲得する場合を黒○とすると,2 点になるのは

白-白 ・・・①
白-黒○ ・・・②
黒○-白 ・・・③
黒○-黒○ ・・・④

のときです。

さいころの目が 3 の倍数となるのは,3 か 6 のときなので,確率は $\cfrac{2}{6}=\cfrac{1}{3}$ です。

それぞれの確率を求めると

① $\cfrac{5}{10}\cdot\cfrac{4}{9}=\cfrac{2}{9}$

始め 10 個の球がありそのうち白球は 5 個あります。そこから白球を 1 個引くと残りは 4 個になります。2 回目に球を引くとき,全体の球の数は 9 個になっているので,9 個から白球を引く確率は $\cfrac{4}{9}$ となります。

その他の場合について確率を求めると

② $\cfrac{5}{10}\Big(\cfrac{5}{9}\cdot\cfrac{1}{3}\Big)=\cfrac{5}{54}$
③ $\big(\cfrac{5}{10}\cdot\cfrac{1}{3}\Big)\cdot\cfrac{5}{9}=\cfrac{5}{54}$
④ $\Big(\cfrac{5}{10}\cdot\cfrac{1}{3}\Big)\Big(\cfrac{4}{9}\cdot\cfrac{1}{3}\Big)=\cfrac{2}{81}$

したがって,求める確率は

$\cfrac{2}{9}+\cfrac{5}{54}+\cfrac{5}{54}+\cfrac{2}{81}$
$=\cfrac{35}{81}$ (答え)

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余事象を利用する

(2) $n=3$ の場合,総得点が 2 点以上となる確率を求めよ。

ここは余事象を用いて,全事象から総得点が 0 点のときと 1 点のときを引きましょう。

(i) 総得点が 0 点のとき

黒玉を引いて出た目が 3 の倍数ではない場合を黒×とすると,0 点になるのは黒×が 3 回連続で出たときです。

$\Big(\cfrac{5}{10}\cdot\cfrac{2}{3}\Big)\Big(\cfrac{4}{9}\cdot\cfrac{2}{3}\Big)\Big(\cfrac{3}{8}\cdot\cfrac{2}{3}\Big)$
$=\cfrac{2}{81}$

(ii) 総得点が 1 点のとき

1 点になるパターンとして

白 1 回,黒× 2 回
黒○ 1 回,黒× 2 回

があります。

白 1 回,黒× 2 回の確率を求めましょう。

$\cfrac{5}{10}\cdot\Big(\cfrac{5}{9}\cdot\cfrac{2}{3}\Big)\cdot\Big(\cfrac{4}{8}\cdot\cfrac{2}{3}\Big)=\cfrac{5}{81}$

このようになるパターンは

白-黒×-黒×
黒×-白-黒×
黒×-黒×-白

の 3 通りがあります。これらの確率はすべて同じになります。よって

$\cfrac{5}{81}\cdot3=\cfrac{5}{27}$

次に,黒○ 1 回,黒× 2 回の確率を求めます。

$\Big(\cfrac{5}{10}\cdot\cfrac{1}{3}\Big)\Big(\cfrac{4}{9}\cdot\cfrac{2}{3}\Big)\Big(\cfrac{3}{8}\cdot\cfrac{2}{3}\Big)$
$=\cfrac{1}{81}$

上と同様にして

$\cfrac{1}{81}\cdot3=\cfrac{1}{27}$

よって,求める確率は

$1-\Big(\cfrac{2}{81}+\cfrac{5}{27}+\cfrac{1}{27}\Big)=\cfrac{61}{81}$ (答え)

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