【数IA】袋から白球と黒球を取り出すときの確率(千葉大2021第3問)
袋に白球と黒球が 5 個ずつ入っている。以下のゲームを $n$ 回続けて行う。
袋から 1 個の球を取り出す。それが白球ならば 1 点獲得する。黒球ならばさいころを投げ，出た目が 3 の倍数ならば 1 点獲得し，そうでなければ得点しない。袋から取り出した球は戻さない。
(1) $n=2$ の場合，総得点が 2 点となる確率を求めよ。
(2) $n=3$ の場合，総得点が 2 点以上となる確率を求めよ。
得点が 2 点になるとき
(1) $n=2$ の場合，総得点が 2 点となる確率を求めよ。
黒球を引いてかつ 1 点獲得する場合を黒○とすると，2 点になるのは
白－白 ・・・①
白－黒○ ・・・②
黒○－白 ・・・③
黒○－黒○ ・・・④
のときです。
さいころの目が 3 の倍数となるのは，3 か 6 のときなので，確率は $\cfrac{2}{6}=\cfrac{1}{3}$ です。
それぞれの確率を求めると
① $\cfrac{5}{10}\cdot\cfrac{4}{9}=\cfrac{2}{9}$
始め 10 個の球がありそのうち白球は 5 個あります。そこから白球を 1 個引くと残りは 4 個になります。2 回目に球を引くとき，全体の球の数は 9 個になっているので，9 個から白球を引く確率は $\cfrac{4}{9}$ となります。
その他の場合について確率を求めると
② $\cfrac{5}{10}\Big(\cfrac{5}{9}\cdot\cfrac{1}{3}\Big)=\cfrac{5}{54}$
③ $\big(\cfrac{5}{10}\cdot\cfrac{1}{3}\Big)\cdot\cfrac{5}{9}=\cfrac{5}{54}$
④ $\Big(\cfrac{5}{10}\cdot\cfrac{1}{3}\Big)\Big(\cfrac{4}{9}\cdot\cfrac{1}{3}\Big)=\cfrac{2}{81}$
したがって，求める確率は
$\cfrac{2}{9}+\cfrac{5}{54}+\cfrac{5}{54}+\cfrac{2}{81}$
$=\cfrac{35}{81}$ （答え）
余事象を利用する
(2) $n=3$ の場合，総得点が 2 点以上となる確率を求めよ。
ここは余事象を用いて，全事象から総得点が 0 点のときと 1 点のときを引きましょう。
(i) 総得点が 0 点のとき
黒玉を引いて出た目が 3 の倍数ではない場合を黒×とすると，0 点になるのは黒×が 3 回連続で出たときです。
$\Big(\cfrac{5}{10}\cdot\cfrac{2}{3}\Big)\Big(\cfrac{4}{9}\cdot\cfrac{2}{3}\Big)\Big(\cfrac{3}{8}\cdot\cfrac{2}{3}\Big)$
$=\cfrac{2}{81}$
(ii) 総得点が 1 点のとき
1 点になるパターンとして
白 1 回，黒× 2 回
黒○ 1 回，黒× 2 回
があります。
白 1 回，黒× 2 回の確率を求めましょう。
$\cfrac{5}{10}\cdot\Big(\cfrac{5}{9}\cdot\cfrac{2}{3}\Big)\cdot\Big(\cfrac{4}{8}\cdot\cfrac{2}{3}\Big)=\cfrac{5}{81}$
このようになるパターンは
白－黒×－黒×
黒×－白－黒×
黒×－黒×－白
の 3 通りがあります。これらの確率はすべて同じになります。よって
$\cfrac{5}{81}\cdot3=\cfrac{5}{27}$
次に，黒○ 1 回，黒× 2 回の確率を求めます。
$\Big(\cfrac{5}{10}\cdot\cfrac{1}{3}\Big)\Big(\cfrac{4}{9}\cdot\cfrac{2}{3}\Big)\Big(\cfrac{3}{8}\cdot\cfrac{2}{3}\Big)$
$=\cfrac{1}{81}$
上と同様にして
$\cfrac{1}{81}\cdot3=\cfrac{1}{27}$
よって，求める確率は
$1-\Big(\cfrac{2}{81}+\cfrac{5}{27}+\cfrac{1}{27}\Big)=\cfrac{61}{81}$ （答え）
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