千葉大数IAIIB

【数I 2つの円】3 つの円がそれぞれ接するときの半径を考える(千葉大2021第2問)

平面上に半径がそれぞれ $a^2,b^2,c^2$ $(0,a<b<c)$ の 3 つの円 $A,B,C$ および直線 $\ell$ がある。3 つの円はどれも直線 $\ell$ に接していて,どの 2 つの円も外接しているとする。

(1) $c$ を $a$ と $b$ を用いて表わせ。

(2) 数列 $a,b,c$ が等比数列となるとき,その公比を求めよ。

ad

2 つの円が接するときの中心どうしの距離を利用する

(1) $c$ を $a$ と $b$ を用いて表わせ。

円の位置関係は上のようになります。ここから三平方の定理を用いて式をつくります。

2 円の接する問題では,このように円の中心どうしを結んだ線を斜辺として直角三角形をつくるのがコツです。

$s^2+(b^2-a^2)^2=(a^2+b^2)^2$ ・・・①

同様に円 A,C について

$t^2+(c^2-a^2)^2=(a^2+c^2)^2$ ・・・②

さらに円 B,C について

$(s+t)^2+(c^2-b^2)^2=(b^2+c^2)^2$ ・・・③

これら 3 つの式から $s,t$ を消去していきます。

①より

$s^2=(a^2+b^2)^2-(b^2-a^2)^2$

ここは因数分解の公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ を用いたほうが良いでしょう。

$=(a^2+b^2+b^2-a^2)(a^2+b^2-b^2+a^2)$
$=2b^2\cdot2a^2=4a^2b^2$
$s=2ab$

②より
$t^2=(a^2+c^2)^2-(c^2-a^2)^2$
$=(a^2+c^2+c^2-a^2)(a^2+c^2-c^2+a^2)$
$=2c^2\cdot2a^2=4a^2c^2$
$t=2ac$

③に代入して

$(2ab+2ac)^2+(c^2-b^2)^2=(b^2+c^2)^2$
$(2ab+2ac)^2=(b^2+c^2)^2-(c^2-b^2)^2$
$=(b^2+c^2+c^2-b^2)(b^2+c^2-c^2+b^2)$
$=2c^2\cdot2b^2=4b^2c^2$
$2ab+2ac=2bc$
$ab+ac=bc$
$bc-ac=ab$
$c(b-a)=ab$
$c=\cfrac{ab}{b-a}$ (答え)

ad

等比数列の公比を求める

(2) 数列 $a,b,c$ が等比数列となるとき,その公比を求めよ。

$a,b,c$ が等比数列となるとき,その公比を $r$ とすると

$a=\cfrac{b}{r}$,$c=br$

が成り立ちます。

忘れてた人は教科書を復習。

よって(1)で求めた式は

$ab+ac=bc$
$\cfrac{b}{r}\cdot b+\cfrac{b}{r}\cdot br=b\cdot br$

両辺を $b^2$ で割ると

$\cfrac{1}{r}+1=r$
$1+r=r^2$
$r^2-r-1=0$
$r=\cfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$

$a<b<c$ より $r>0$ だから

$r=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ (答え)

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