数III神戸大

【数III微分積分】媒介変数を用いて道のりと速さを求める練習問題(神戸大2021理系第5問)

座標平面上を運動する点 P $(x,y)$ の時刻 $t$ における座標が

$x=\cfrac{4+5\cos t}{5+4\cos t}$,$y=\cfrac{3\sin t}{5+4\cos t}$

であるとき,以下の問に答えよ。

(1) 点 P と原点 O との距離を求めよ。

(2) 点 P の時刻 $t$ における速度 $\vec{v}=\Big(\cfrac{dx}{dt},\cfrac{dy}{dt}\Big)$ と速さ $|\vec{v}|$ を求めよ。

(3) 定積分 $\displaystyle\int_0^\pi\cfrac{dt}{5+4\cos t}$ を求めよ。

ad

三平方の定理

(1) 点 P と原点 O との距離を求めよ。

距離は三平方の定理を用いて求めます。

$\text{OP}^2=\sqrt{x^2+y^2}$
$=\Big(\cfrac{4+5\cos t}{5+4\cos t}\Big)^2+\Big(\cfrac{3\sin t}{5+4\cos t}\Big)^2$
$=\cfrac{16+40\cos t+25\cos^2 t+9\sin^2 t}{(5+4\cos t)^2}$

ここで,三角比の公式より $\sin^2 t=1-\cos^2 t$ を用いるともう少し式が整理できます。

$=\cfrac{16+40\cos t+25\cos^2 t+9(1-\cos^2 t)}{(5+4\cos t)^2}$
$=\cfrac{16+40\cos t+25\cos^2 t+9-9\cos^2 t}{(5+4\cos t)^2}$
$=\cfrac{16\cos^2t+40\cos t+25}{(5+4\cos t)^2}$

分子の式は因数分解できます。

$=\cfrac{(4\cos t+5)^2}{(5+4\cos t)^2}$
$=1$ (答え)

OP がつねに 1 になるってことは,結局これ半径 1 の円になるってことだよね。

ad

速度を求める

(2) 点 P の時刻 $t$ における速度 $\vec{v}=\Big(\cfrac{dx}{dt},\cfrac{dy}{dt}\Big)$ と速さ $|\vec{v}|$ を求めよ。

変位 $x$ を微分すると横軸方向の速度を求めることができます。さらに,速度を微分したら加速度が求められます。

物理で習う公式 $x=v_ot+\cfrac{1}{2}at^2$ も同じです。

$v_ot+\cfrac{1}{2}at^2$

$t$ で微分すると

$v_o+at$ (速度)

さらに微分すると

$a$ (加速度)

逆の関係も成り立ちます。加速度を積分すれば速度になり,速度を積分すれば距離(変位)になります。この関係は(3)で用います。

速度を求めていきましょう。

商の微分
$\Big\{\cfrac{f(x)}{g(x)}\Big\}’=\cfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}$

$\cfrac{dx}{dt}=\cfrac{(4+5\cos t)'(5+4\cos t)-(4+5\cos t)(5+4\cos t)’}{(5+4\cos t)^2}$
$=\cfrac{-5\sin t(5+4\cos t)+(4+5\cos t)\cdot4\sin t}{(5+4\cos t)^2}$
$=\cfrac{-25\sin t-20\sin t\cos t+16\sin t+20\sin t\cos t}{(5+4\cos t)^2}$
$=\cfrac{-9\sin t}{(5+4\cos t)^2}$

また

$\cfrac{dy}{dt}=\cfrac{(3\sin t)'(5+4\cos t)-3\sin t(5+4\cos t)’}{(5+4\cos t)^2}$
$=\cfrac{3\cos t(5+4\cos t)-3\sin t(-4\sin t)}{(5+4\cos t)^2}$
$=\cfrac{15\cos t+12\cos^2t+12\sin^2t}{(5+4\cos t)^2}$
$=\cfrac{15\cos t+12\cos^2t+12(1-\cos^2t)}{(5+4\cos t)^2}$
$=\cfrac{15\cos t+12\cos^2t+12-12\cos^2t}{(5+4\cos t)^2}$
$=\cfrac{15\cos t+12}{(5+4\cos t)^2}$

したがって

$\vec{v}=\Bigg(\cfrac{-9\sin t}{(5+4\cos t)^2},\cfrac{15\cos t+12}{(5+4\cos t)^2}\Bigg)$

速さ $|\vec{v}|$ は三平方の定理で求めます。

$|\vec{v}|^2=\Big(\cfrac{-9\sin t}{(5+4\cos t)^2}\Big)^2+\Big(\cfrac{15\cos t+12}{(5+4\cos t)^2}\Big)^2$
$=\cfrac{(-9\sin t)^2+(15\cos t+12)^2}{(5+4\cos t)^4}$
$=\cfrac{81\sin^2t+225\cos^2t+360\cos t+144}{(5+4\cos t)^4}$
$=\cfrac{81(1-\cos^2t)+225\cos^2t+360\cos t+144}{(5+4\cos t)^4}$
$=\cfrac{81-81\cos^2t+225\cos^2t+360\cos t+144}{(5+4\cos t)^4}$
$=\cfrac{144\cos^2+360\cos t+225}{(5+4\cos t)^4}$

分子を因数分解します。

$=\cfrac{(12\cos t+15)^2}{(5+4\cos t)^4}$

よって

$|\vec{v}|=\cfrac{12\cos t+15}{(5+4\cos t)^2}$
$=\cfrac{3(4\cos t+5)}{(5+4\cos t)^2}$
$=\cfrac{3}{5+4\cos t}$ (答え)

速度と距離の関係

(3) 定積分 $\displaystyle\int_0^\pi\cfrac{dt}{5+4\cos t}$ を求めよ。

ここは(2)の結果を利用しましょう。

$\displaystyle\int_0^\pi\cfrac{dt}{5+4\cos t}$
$\displaystyle=\cfrac{1}{3}\int_0^\pi\cfrac{3}{5+4\cos t}\space dt$
$\displaystyle=\cfrac{1}{3}\int_0^\pi|\vec{v}|\space dt$

さっきの話に戻るけど速さを積分したら?

道のりですよね。

そうそう。で,今回の図形は半径 1 の円だったよね。道のりって何のこと?

円周の長さですか?

そういうこと。

ここで定積分が半円になることを示しておきましょう。

$\cfrac{dx}{dt}=\cfrac{-9\sin t}{(5+4\cos t)^2}$ より

$0\leqq t\leqq\pi$ において

$\cfrac{dx}{dt}\leqq0$

分母は 2 乗してるからつねに正の数。あとは分子でプラス・マイナスを判断すれば良い。

また

$\cfrac{dy}{dt}=\cfrac{15\cos t+12}{(5+4\cos t)^2}$ より

$15\cos t+12=0$ とすると
$5\cos t+4=0$
$\cos t=-\cfrac{4}{5}$

ここから $\sin t$ を求めると

$\sin t=\sqrt{1-\Big(-\cfrac{4}{5}\Big)^2}$
$=\sqrt{1-\cfrac{16}{25}}$
$=\sqrt{\cfrac{9}{25}}$

$0\leqq t\leqq\pi$ より

$=\cfrac{3}{5}$

増減表は

$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|}\hline t&0&\cdots&\alpha&\cdots&\pi\\\hline\frac{dx}{dt}&0&-&&-&0\\\hline x&1&\searrow&0&\searrow&-1\\\hline\frac{dy}{dt}&\frac{1}{3}&+&0&-&-3\\\hline y&0&\nearrow&1&\searrow&0\\\hline\end{array}$

$t=\alpha$ のとき

$x=\cfrac{4+5\Big(-\cfrac{4}{5}\Big)}{5+4\Big(-\cfrac{4}{5}\Big)}$
$=\cfrac{20-20}{25-16}=0$
$y=\cfrac{3\cdot\cfrac{3}{5}}{5+4\Big(-\cfrac{4}{5}\Big)}$
$=\cfrac{9}{25-16}$
$=1$

$\text{OP}=1$ より,$\displaystyle\int_0^\pi|\vec{v}|\space dt$ は半円の周の長さである。

したがって

$\displaystyle=\cfrac{1}{3}\int_0^\pi|\vec{v}|\space dt$

$=\cfrac{\pi}{3}$ (答え)

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