【数II3次式の因数分解】4次方程式の解が重複する場合を考える（神戸大2021理系第4問）

解と係数の関係

共有点を求めます。

$y=x^2$ と $y=mx+1$ を連立して

$x^2=mx+1$
$x^2-mx-1=0$ ・・・①

ここで，解と係数の関係を使います。

ここで共有点の座標を $\text{A}(\alpha,\alpha^2)$，$\text{B}(\beta,\beta^2)$ とすると，①の解は $\alpha$ と $\beta$ になります。

解と係数の関係より

$\alpha+\beta=m$ ・・・②
$\alpha\beta=-1$ ・・・③

直線 AO の傾きは

$\cfrac{\alpha^2}{\alpha}=\alpha$

直線 OB の傾きは

$\cfrac{\beta^2}{\beta}=\beta$

となるので，③より

$\angle\text{AOB}=\cfrac{\pi}{2}$　（証明終わり）

円の方程式

中学で習った円周角の定理を思い出しましょう。

$\angle\text{AOB}$ が 90° なら AB は直径を表します。

よって，円の中心を P とすると，点 P は辺 AB の中点です。また，半径は辺 OP となります。

中心の座標と半径が分かれば円の方程式が作れます。

AB の中点を P とすると，②より

$\cfrac{\alpha+\beta}{2}=\cfrac{m}{2}$

ここも解と係数の関係を利用しています。

これを $y=mx+1$ に代入すると

$y=m\cdot\cfrac{m}{2}+1$
$=\cfrac{m^2}{2}+1$

よって，点 P の座標は

$\text{P}\Big(\cfrac{m}{2},\cfrac{m^2}{2}+1\Big)$

次に半径を求めます。三平方の定理を用いて

$\text{OP}^2=\Big(\cfrac{m}{2}\Big)^2+\Big(\cfrac{m^2}{2}+1\Big)^2$
$=\cfrac{m^2}{4}+\cfrac{m^4}{4}+m^2+1$
$=\cfrac{m^4}{4}+\cfrac{5}{4}m^2+1$

円の方程式は

$\Big(x-\cfrac{m}{2}\Big)^2+\Big(y-\cfrac{m^2}{2}-1\Big)^2=\cfrac{m^4}{4}+\cfrac{5}{4}m^2+1$

式を整理していきます。$\Big(y-\cfrac{m^2}{2}-1\Big)^2$ の部分は公式を使いましょう。

$x^2-mx+\cfrac{m^2}{4}+y^2+\cfrac{m^4}{4}+1-m^2y+m^2-2y=\cfrac{m^4}{4}+\cfrac{5}{4}m^2+1$
$x^2+y^2-mx-(m^2+2)y=0$ （答え）

因数分解

共有点を求めるので，(2)で求めた円の方程式と $y=x^2$ を連立します。

$x^2+y^2-mx-(m^2+2)y=0$ に $y=x^2$ を代入すると

$x^2+x^4-mx-(m^2+2)x^2=0$
$x^4-(m^2+1)x^2-mx=0$

このようにして，$x$ の式とします。

$x\{x^3-(m^2+1)x-m\}=0$

$x^3-(m^2+1)x-m$ をさらに因数分解します。

そこで，$x=-m$ とすると

$-m^3+(m^2+1)m-m=0$

このとき，式は $x+m$ で割り切れます。組立除法を用いましょう。

$\begin{matrix}1&0&-m^2-1&-m&|\underline{-m}\\&-m&m^2&m\\\hline1&-m&-1&0\end{matrix}$

よって

$x(x+m)(x^2-mx-1)=0$ ・・・④

この式は 4 次方程式なので 4 つの解を持ちます。一方，問題文の条件で A，B，O 以外の共有点をもたないとあるので，解は 3 つにしなければなりません。

④の解は $x=0,-m$ または $x^2-mx-1=0$ の解です。$x^2-mx-1=0$ は基本的に 2 つの解をとるので 4 つの解が存在することになるのですが，$m$ の値によって解が 3 つになる場合があります。解が重複するケースを検討してみましょう。

たとえば $m=0$ とすると，④は

$x^2(x^2-1)=0$
$x^2(x+1)(x-1)=0$

となるので，解は $x=0,1,-1$ となり 3 の解を持ちます。

また別のパターンとして $x^2-mx-1$ が重解を持つときも，④の解は 3 つだけになるはずです。

$x^2-mx-1=0$ が重解を持つとき，判別式を用いて

$D=m^2+4=0$
$m^2=-4$

あともう一つ考えられるパターンは $x^2-mx-1=0$ の解の一つが $-m$ になる場合です。

$x=-m$ とすると

$m^2+m^2-1=0$
$2m^2-1=0$
$m^2=\cfrac{1}{2}$
$m=\pm\cfrac{1}{\sqrt{2}}$

したがって

$m=0,\pm\cfrac{1}{\sqrt{2}}$　（答え）