数IAIIB神戸大

【数IIB数学的帰納法】負の数を割った余りは正の数,負の数,どっち?-(3+i)^nが虚数であることを証明する問題(神戸大2021文系第1問・理系第1問)

$i$ を虚数単位とする。以下の問に答えよ。

(1) $n=2,3,4,5$ のとき $(3+i)^n$ を求めよ。またそれらの虚部の整数を 10 で割った余りを求めよ。

(2) $n$ を正の整数とするとき $(3+i)^n$ は虚数であることを示せ。

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虚数の計算

(1) $n=2,3,4,5$ のとき $(3+i)^n$ を求めよ。またそれらの虚部の整数を 10 で割った余りを求めよ。

虚数のかけ算を行うときには $i^2=-1$ とマイナスがつくところで計算ミスを起こしやすいので注意しましょう。

$n=2$ のとき

$(3+i)^2=9+6i-1$
$=8+6i$

$n=3$ のとき

$(8+6i)(3+i)=24+8i+18i-6$
$=18+26i$

$n=4$ のとき

$(19+26i)(3+i)=54+18i+78i-26$
$=28+96i$

$n=5$ のとき

$(28+96i)(3+i)=84+28i+288i-96$
$=-12+316i$

虚部って何?

$8+6i$ だと,8 を実部って言って,$6i$ を虚部と言う。虚部の整数は $6,26,96,316$ だよね。

虚部の整数を 10 で割った余りは 6。(答え)

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実部と虚部を10で割った余りを考える

(2) $n$ を正の整数とするとき $(3+i)^n$ は虚数であることを示せ。

すべての $n$ で虚数ってのを示すから帰納法かな?ってのまで思いつくけど,証明できてる自信ない。

どんな式書いたの?

$(3+i)^k$ を虚数と仮定して $a+bi$ とします。で,
$(3+i)^{k+1}=(a+bi)(3+i)$
$=3a+ai+3bi-b$
$=3a-b+(a+3b)i$

それ,$a,b$ はいろんな値をとり得るから,$a+3b=0$ だと虚数じゃなくなる。残念ながら証明できてない。

こういうときは(1)でやったことを利用するのが数学の試験問題のセオリーです。そこで,(1)で答えた 10 で割った余りが 6,というのを帰納法で証明することを考えます。

余りが 0 じゃないなら,何らかの形で虚部が存在するってことだから,それで虚数であることが証明できる。

$(3+i)^k=a+(10b+6)i$ ってしたら
$(3+i)^{k+1}=\{a+(10b+6)i\}(3+i)$
$=3a-10b-6+(a+30b+18)i$
ってなりました。でもやっぱりこれ,$a,b$ の値によって虚部が 0 になることありますよね。

なるね。

じゃあ,これも証明できてないのか。

余りはつねに正の数とすべし

ここで,もう一つの要素である実部の数字を振り返ると,$8,18,28,-12$ であり,それぞれの値は 10 で割ると余りが 8 になります。

$-12$ って 10 で割ると余り 8 なの?

$-12$ を割ったあまりは 2 通り考えられるかもしれません

$-12=10\times(-1)-2$
$-12=10\times(-2)+8$

しかし余りは 8 としなければなりません。高校数学の教科書では,余りはつねに正の数と決められています。

そんなのあった?

数Aの教科書見て。見逃しがち。

でもそれ言ったら,$-12=10\times(-3)+18$ とかもオッケーじゃないですか?

余りが割る数より大きくなったらダメよ。10 で割るなら 10 より小さくないとダメ。そこは余りの基本の定義。

数学的帰納法

(2) $n$ を正の整数とするとき $(3+i)^n$ は虚数であることを示せ。

$n=1$ のとき

$(3+i)^n=3+i$

よって,$(3+i)^n$ は虚数である。

次に,$n$ が 2 以上の自然数のとき,以下の仮定を数学的帰納法で示す。

$(3+i)^n$ の実部,虚部をそれぞれ 10 で割った余りは 8,6 である。・・・(*)

[I] $n=2$ のとき

$(3+i)^2=8+6i$

$n=2$ のとき,(*)は成り立つ。

[II] $n=k$ のとき,(*)が成り立つと仮定して

$(3+i)^n=10s+8+(10t+6)i$

とすると,$n=k+1$ のとき

$(3+i)^{k+1}=(3+i)^k(3+i)$
$=\{10s+8+(10t+6)i\}(3+i)$
$=30s+10si+24+8i+3(10t+6)i-(10t+6)$
$=30s-10t+18+(10s+30t+26)i$

$n=k+1$ のとき,(*)は成り立つ。

[I],[II] より,$n$ が 2 以上の自然数のとき,$(3+i)^n$ の実部,虚部をそれぞれ 10 で割った余りは 8,6 である。

したがって,$n$ を正の整数とするとき $(3+i)^n$ は虚数である。(証明終わり)

この問題は,実部を 10 で割った余りが 8 であることに気づかないと証明ができないので,(1)の解答をじっくり検討することが大事です。

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