神戸大

sin x/x の最大値とはさみうちの原理(神戸大理系第4問)

$n$ を自然数とし,$2n\pi\leqq x\leqq(2n+1)\pi$ に対して $f(x)=\cfrac{\sin x}{x}$ とする。以下の問に答えよ。

(1) $f(x)$ が最大となる $x$ の値がただ 1 つ存在することを示せ。

(2) (1)の $x$ の値を $x_n$ とする。このとき,$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\cfrac{n}{\tan x_n}$ を求めよ。

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微分する

(1) $f(x)$ が最大となる $x$ の値がただ 1 つ存在することを示せ。

式を微分して増減表をつくり,関数の形を調べてみましょう。

$f(x)=\cfrac{\sin x}{x}$

商の微分 $\Big\{\cfrac{f(x)}{g(x)}\Big\}’=\cfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}$

$f'(x)=\cfrac{(\sin x)’x-\sin x(x’)}{x^2}$
$=\cfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}$

分母は単調増加です。あとは分子について調べましょう。

$g(x)=x\cos x-\sin x$ として

積の微分 $\{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

$g'(x)=(x)’\cos x+x(\cos x)’-\cos x$
$=\cos x-x\sin x-\cos x$
$=-x\sin x$

$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|}\hline x&2n\pi&\cdots&\alpha&\cdots&(2n+1)\pi\\\hline g'(x)&0&-&-&-&0\\\hline g(x)&2n\pi&\searrow&0&\searrow&-(2n+1)\pi\\\hline\end{array}$

範囲が $2n\pi$ から $2n+1$ ということは,たとえば,$2\pi$ から $3\pi$ や $4\pi$ から $5\pi$ ということです。

この範囲では $\sin x$ は正の値(または 0)なので,$-x\sin x$ は負の値(または 0)です。よって,$g(x)$ は減少していきます。

$g(x)$ の値ははじめ正の値で $x=\alpha$ で 0 になり,負の値で終わります。

$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|}\hline x&2n\pi&\cdots&\alpha&\cdots&(2n+1)\pi\\\hline f'(x)&&+&0&-\\\hline f(x)&0&\nearrow&&\searrow&0\\\hline\end{array}$

$g(x)$ が $x=\alpha$ で 0 になるとすると,$f'(x)$ も 0 になるので,ここで $f(x)$ が極値をとることになります。

また,増減表から $f(x)$ が最大となる $x$ の値は 1 つだけ,ということも分かります。

増減表より,$f(x)$ は $x=\alpha$ で最大となる。(答え)

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はさみうちの原理

(2) (1)の $x$ の値を $x_n$ とする。このとき,$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\cfrac{n}{\tan x_n}$ を求めよ。

$\tan$ の極限ってどうやるんですか?

この問題は三角関数の極限というよりは,数列の極限として捉えたほうがいいだろうね。

(1)の $x$ の値というのは,最大値をとるとき,ということです。つまり $x$ は $x=\alpha$ のようにある決まった値で最大値をとり,そのときの $x$ の値を,$x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n$ という数列として並べようというわけです。

でも,最大値とるときの $x$ の値って分からないですよね?

そうなんだけど,(1)の計算から $x$ が分かんなくても $\tan x$ は出せるんじゃないかって考えるの。

$f(x)$ が最大値をとるとき

$f'(x)=\cfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}=0$

$x\geqq2\pi$ だから分母はつねに正の数です。よって

$x\cos x-\sin x=0$
$x\cos x=\sin x$
$x=\cfrac{\sin x}{\cos x}$
$=\tan x$

このとき,等式を満たす $x$ の値は 1 つではありません。$2\pi$ と $3\pi$ の間に 1 つ,$4\pi$ と $5\pi$ の間に 1 つ,・・・と存在しています。これを並べていくと,$x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n$ という数列ができあがるわけです。

$x$ を $x_n$ とすると

$x_n=\tan x_n$

よって

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\cfrac{n}{\tan x_n}$
$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\cfrac{n}{x_n}$

あとは,$x_n$ の範囲からはさみうちの原理に持ち込みます。

$2n\pi\leqq x_n\leqq(2n+1)\pi$
$\cfrac{1}{(2n+1)\pi}\leqq\cfrac{1}{x_n}\leqq\cfrac{1}{2n\pi}$

逆になるんですか?

$2<3<4$ なら $\cfrac{1}{4}<\cfrac{1}{3}<\cfrac{1}{2}$ になる。逆数とったとき不等号の向きは逆になるよ。

$\cfrac{n}{(2n+1)\pi}\leqq\cfrac{n}{x_n}\leqq\cfrac{n}{2n\pi}$

$\cfrac{n}{(2n+1)\pi}$ は分母と分子の両方に $n$ があるので極限を求めることができません。いわゆる不定形です。こういうときは分母・分子を $n$ で割って不定形を解消するというのがやり方でした。

$\cfrac{1}{\Big(2+\cfrac{1}{n}\Big)\pi}\leqq\cfrac{n}{x_n}\leqq\cfrac{1}{2\pi}$

ここで

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\cfrac{1}{\Big(2+\cfrac{1}{n}\Big)\pi}=\cfrac{1}{2\pi}$
$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\cfrac{1}{2\pi}=\cfrac{1}{2\pi}$

だから

はさみうちの原理より

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\cfrac{n}{x_n}=\cfrac{1}{2\pi}$ (答え)

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