数IAIIB神戸大

漸化式が絶対値で表される数列の一般項を考える(神戸大2020理系第5問)

$p$ を 2 以上の自然数とし,数列 $\{x_n\}$ は

$x_1=\cfrac{1}{2^p+1}$,$x_{n+1}=|2x_n-1|$ $(n=1,2,3,\cdots)$

をみたすとする。以下の問に答えよ。

(1) $p=3$ のとき,$x_n$ を求めよ。

(2) $x_{p+1}=x_1$ であることを示せ。

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一般項を求める

(1) $p=3$ のとき,$x_n$ を求めよ。

漸化式が絶対値になっている数列は,式変形で一般項を求めることができません。

どうしたらいいの?

どうにもならないときは,数列 1 つずつ求めてみて,法則性がないか考えるといいよ。

$p=3$ のとき

$x_1=\cfrac{1}{2^3+1}=\cfrac{1}{9}$
$x_2=|2x_1-1|=\Big|\cfrac{2}{9}-1\Big|=\cfrac{7}{9}$
$x_3=|2x_2-1|=\Big|\cfrac{14}{9}-1\Big|=\cfrac{5}{9}$
$x_4=|2x_3-1|=\Big|\cfrac{10}{9}-1\Big|=\cfrac{1}{9}$

これどうなると思う?

$\cfrac{1}{9},\cfrac{7}{9},\cfrac{5}{9}$ の繰り返しですかね?

したがって

$n=3k-2$ $(k=1,2,3,\cdots)$ のとき

$x_n=\cfrac{1}{9}$

$n=3k-1$ のとき

$x_n=\cfrac{7}{9}$

$n=3k$ のとき

$x_n=\cfrac{5}{9}$ (答え)

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帰納法で証明する

(2) $x_{p+1}=x_1$ であることを示せ。

(1)と同じようなことを $p$ をそのままにした状態で考えてみます。

$x_2=|2x_1-1|$
$=\Big|\cfrac{2}{2^p+1}-1\Big|$
$=\Big|\cfrac{2-2^p-1}{2^p+1}\Big|$
$=\Big|\cfrac{1-2^p}{2^p+1}\Big|$

$p$ は 2 以上の自然数なので,$1-2^p$ は負の数になります。また,$2^p+1$ は正の数になるので,全体としては負の数になるはずです。よって,符号を逆にして絶対値の記号を外します。

$=\cfrac{2^p-1}{2^p+1}$

$x_3=|2x_2-1|$
$=\Big|\cfrac{2(2^p-1)}{2^p+1}-1\Big|$
$=\Big|\cfrac{2^{p+1}-2-2^p-1}{2^p+1}\Big|$

$2^{p+1}-2^p$ は $2\cdot2^p-2^p=2^p$ ってなる。

$=\Big|\cfrac{2^p-3}{2^p+1}\Big|$

$p$ は 2 以上だから,絶対値の中は正の数です。

$=\cfrac{2^p-3}{2^p+1}$

さらに次の項を求めます。

$x_4=\Big|\cfrac{2(2^p-3)}{2^p+1}-1\Big|$
$=\Big|\cfrac{2^{p+1}-6-2^p-1}{2^p+1}\Big|$
$=\Big|\cfrac{2^p-7}{2^p+1}\Big|$

こうなると,絶対値の中は正の数になる場合と,負の数になる場合がでてきます。$p$ が 3 以上なら,絶対値の中は正の数です。

$x_5=\Big|\cfrac{2(2^p-7)}{2^p+1}-1\Big|$
$=\Big|\cfrac{2^{p+1}-14-2^p-1}{2^p+1}\Big|$
$=\Big|\cfrac{2^p-15}{2^p+1}\Big|$

$p$ が 4 以上なら,絶対値の中は正の数です。

ここから法則性が見えてきます。

たとえば,$p=3$ なら,$x_1,x_2,x_3,x_4$ は正の数ですが,$x_5$ 以降は分かりません。 また,$p=4$ としてそれぞれの項を求めると,$x_1$ から $x_5$ までは絶対値の中が正の数だと言えます。

とは言え,これで終わりではありません。$p$ が 2 以上の自然数のとき,すべての $p$ で $x_{p+1}=x_1$ が成り立つことを証明しなければなりません。

帰納法?

ですね。

分子のうしろの項が,$-1,-3,-7,-15$ と変化していくところから一般項が推測できます。

$x_n=\cfrac{2^p-(2^{n-1}-1)}{2^p+1}$ $(n\leqq p+1)$

上の説明から,$n\leqq p+1$ という範囲がでてきます。

この式はあくまで仮定なので,本当に正しいかどうかはわかりません。$p$ が 2 と 3 のときは正しいことがわかっているだけです。そこで,帰納法で 2 以上のすべての $p$ で式が正しいことを証明してみましょう。

$p$ が 2 以上の自然数のとき

$x_n=\cfrac{2^p-(2^{n-1}-1)}{2^p+1}$ $(n\leqq p+1)$ ・・・(*)
が成り立つと仮定すると

[I] $n=2$ のとき

$x_2=\Big|\cfrac{2}{2^p+1}-1\Big|$
$=\Big|\cfrac{2-2^p-1}{2^p+1}\Big|$
$=\Big|\cfrac{1-2^p}{2^p+1}\Big|$

$p$は2以上だから絶対値の中は負の値です。

$=\cfrac{2^p-1}{2^p+1}$

よって,(*)は成り立つ。

[II] $n=k$ のとき(*)が成り立つとして,$n=k+1$ のとき

$x_{k+1}=|2x_k-1|$
$=\Big|2\cdot\cfrac{2^p-(2^{k-1}-1)}{2^p+1}-1\Big|$
$=\Big|\cfrac{2^{p+1}-2^k+2-2^p-1}{2^p+1}\Big|$
$=\Big|\cfrac{2^p-2^k+1}{2^p+1}\Big|$

ここで,$2^p$ と $2^k$ を比べると

$n\leqq p+1$ より

$2^{k+1}\leqq2^{p+1}$
$2^k\leqq2^p$

絶対値の中は正の数です。

$=\cfrac{2^p-(2^k-1)}{2^p+1}$

[I],[II]より $p$ が 2 以上のすべての自然数において

$x_n=\cfrac{2^p-(2^{n-1}-1)}{2^p+1}$ $(n\leqq p+1)$

が成り立つ。

ここで,$n=p+1$ とすると

$x_{p+1}=\cfrac{2^p-(2^p-1)}{2^p+1}$
$=\cfrac{1}{2^p+1}=x_1$ (証明終わり)

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