数IAIIB神戸大

【数IA・場合の数】順列と組合せの違いちゃんと覚えてる?(神戸大2020理系第3問・文系第3問)

以下の問に答えよ。

(1) 和が 30 になる 2 つの自然数からなる順列の総数を求めよ。

(2) 和が 30 になる 3 つの自然数からなる順列の総数を求めよ。

(3) 和が 30 になる 3 つの自然数からなる組合わせの総数を求めよ。

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順列の総数

(1) 和が 30 になる 2 つの自然数からなる順列の総数を求めよ。(1) 和が 30 になる 2 つの自然数からなる順列の総数を求めよ。(1) 和が 30 になる 2 つの自然数からなる順列の総数を求めよ。

順列?

例えば 2 つの数なら,(1,2) と (2,1) は 2 通りとして数えるってこと。

(1, 29), (2, 28), ・・・, (28, 2), (29, 1) の 29 通り。(答え)

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3 つの数の和

(2) 和が 30 になる 3 つの自然数からなる順列の総数を求めよ。

$a+b+c=30$ とすると

$a=1$ のとき

$(b,c)=(1,28),\cdots,(28,1)$ の 28 通り

$a=2$ のとき

$(b,c)=(1,27),\cdots,(27,1)$ の 27 通り

$\vdots$

$a=28$ のとき

$(b,c)=(1,1)$ の 1 通り

したがって

$1+2+3+\cdots+27+28$
$\displaystyle=\sum_{k=1}^{28}k$
$=\cfrac{1}{2}\cdot28\cdot29=406$ 通り (答え)

組み合わせの総数

(3) 和が 30 になる 3 つの自然数からなる組合わせの総数を求めよ。

組み合わせってなったら,(1, 2), (2, 1) は 1 通りとして数える。

3 つの自然数だから組み合わせいっぱい出てきますよね。

こういう場合は,3 つが同じ数のとき,2 つが同じ数のとき,3 つとも異なるときで分けると効率よく数えられます。

(i) 3 つが同じとき

(10, 10, 10) の 1 通り。

(ii) 2 つが同じとき

例えば,(1, 1, 28), (1, 28, 1),(28, 1, 1) は 1 通りとして数えます。

このような組み合わせは

(1, 1, 28), (2, 2, 27), ・・・, (14, 14, 2) の 14 通り考えられますが,注意すべきなのは,この中には (10, 10, 10) が含まれます。これは先ほど数えました。

よって,13 通りです。

(iii) 3 つとも異なるとき

これは(2)の結果を利用します。

406 通りの中には (10, 10, 10) が含まれるのでこれを除きます。また,2 つが同じときが 13 通りありますが,これには (1, 1, 28), (1, 28, 1), (28, 1, 1) のようにそれぞれ 3 通りがあるので,実際には 39 通りあるはずです。

したがって,3 つとも異なる順列は

$406-1-39=366$ 通り

となります。

答え?

ではない。

366 通りはあくまで順列の話であって,その中にはたとえば

(1, 2, 27), (1, 27, 2), (2, 1, 27)
(2, 27, 1), (27, 1, 2), (27, 2, 1)

があり,これらは 1 通りとして数えなければなりません。つまり $3!=6$ で割ればよいということになります。

よって

$\cfrac{406-1-13\cdot3}{3!}=61$ 通り

(i)+(ii)+(iii)

$1+13+61=75$ 通り (答え)

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