1,3,4を繰り返す数列(神戸大2019理系第4問・文系第2問)

次のように 1, 3, 4 を繰り返し並べて得られる数列を $\{a_n\}$ とする。

$$1,3,4,1,3,4,1,3,4,\cdots$$

すなわち，$a1=1$，$a_2=3$，$a_3=4$ で，4 以上の自然数 $n$ に対し，$a_n=a_{n-3}$ とする。この数列の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。以下の問に答えよ。

(1) $S_n$ を求めよ。

(2) $S_n=2019$ となる自然数 $n$ は存在しないことを示せ。

(3) どのような自然数 $k$ に対しても，$S_n=k^2$ となる自然数 $n$ が存在することを示せ。

場合分けする

(1)から始めます。

このようなタイプの数列は一つの式で一般項を示すことはできません。そこで，3 つの式に場合分けして答えを求めましょう。

1, 3, 4 を合計すると 8 になります。数列を 8 のかたまりとして考えて，それに 1 や 4 を加えれば良さそうです。

$m=1,2,3,\cdots$ として

$S_{3(m-1)}=8(m-1)$
$S_{3(m-1)+1}=8(m-1)+1$
$S_{3(m-1)+2}=8(m-1)+4$
（答え）

余りを考える

(2)に進みます。(1)の式を利用しましょう。

$2019=8\times252+3$

$S_n$ を 8 で割った余りは，0，1，4 のいずれかだから，$S_n=2019$ となる自然数 $n$ は存在しない。（答え）

8 の倍数＋余りで考える

(3)に進みます。

(1)から推測すると，$k^2$ が 8 の倍数であるか，8 で割った余りが 1，または 4 であれば良いということになります。

$k=8t$ のとき

$k^2=64p^2=8(8p^2)$

$k=8t+1$ のとき

$k^2=64t^2+16t+1$
$=8(8t^2+2t)+1$

$k=8t+2$ のとき

$k^2=64t^2+32t+4$
$=8(8t^2+4t)+4$

$k=8t+3$ のとき

$k^2=64t^2+48t+9$
$=8(8t^2+6t+1)+1$

$k=8t+4$ のとき

$k^2=64t^2+64t+16$
$=8(8t^2+8t+2)$

$k=8t+5$ のとき

$k^2=64t^2+80t+25$
$=8(8t^2+10t+3)+1$

$k=8t+6$ のとき

$k^2=64t^2+96t+36$
$=8(8t^2+12t+4)+4$

$k-8t+7$ のとき

$k^2=64t^2+112t+49$
$=8(8t^2+14t+6)+1$

これですべての自然数 $k$ について考えることができました。

したがって，どのような自然数 $k$ に対しても，$S_n=k^2$ となる自然数 $n$ が存在する。（証明終わり）