数IAIIB神戸大高校数学の解法

2つのさいころの積をnで割って1余る場合を考える(神戸大2019理系第3問)

$n$ を 2 以上の整数とする。2 個のさいころを同時に投げるとき,出た目の積を $n$ で割った余りが 1 となる確率を $P_n$ とする。以下の問に答えよ。

(1) $P_2$,$P_3$,$P_4$ を求めよ。

(2) $n\geqq36$ のとき,$P_n$ を求めよ。

(3) $P_n=\cfrac{1}{18}$ となる $n$ をすべて求めよ。

ad

積を n で割ったあまりが 1 になるとき

(1)から始めます。

さいころ 2 個の組み合わせは 36 通りなので,当てはまるものを数え上げていきましょう。

まず,$P_2$ は,積を 2 で割った余りが 1 となる場合です。これは積が奇数であるということです。

さいころが 1 個でも偶数だと,積は偶数になる。積が奇数になる条件は奇数×奇数のとき。

よって

(1,1),(1,3),(1,5)(3,1),(3,3),(3,5)(5,1),(5,3),(5,5)

の 9 通り。

$P_2=\cfrac{9}{36}=\cfrac{1}{4}$ (答え)

次に,$P_3$ を考えます。

3 で割った余りが 1 になる数は,$k$ を用いて $3k+1$ と表すことができます。これにあてはまる数は

1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34

あとは積がこれらに当てはまる場合を探します。

(1,1),(1,4),(2,2),(2,5)(4,1),(4,4),(5,2),(5,5)

の 8 通り。

$P_3=\cfrac{8}{36}=\cfrac{2}{9}$ (答え)

さらに,$P_4$ を考えます。

4 で割った余りが 1 になる数は,$4k+1$ で考えると

$1,5,9,13,17,21,25,29,33$

よって,当てはまるのは

(1,1),(1,5),(3,3),(5,1),(5,5)

の 5 通り。

$P_4=\cfrac{5}{36}$ (答え)

ad

n ≧ 36 のとき

(2)に進みます。

2 個のさいころの積は最大で 36 です。これを 36 以上の数で割ると,積がそのまま余りになります。

たとえば,積が 14 だとして 36 で割ると,商は 0 で余り 14。同じように,積が 20 だとして 40 で割ると,商は 0 で余り 20,というカンジ。

よって,余りが 1 になるのは(1,1)のときのみ。

$P_n=\cfrac{1}{36}$ (答え)

ad

当てはまる n をすべて求める

(3)に進みます。

$\cfrac{1}{18}=\cfrac{2}{36}$ となるので,36 通りのうち 2 通りだけが余り 1 になるパターンを考えようということです。

ここで,(1),(2)を振り返ると分かりますが,積が 1 のときは $n$ が何であろうと,つねに余りは 1 となります。つまり 2 通りのうち 1 通りは (1,1) です。

そうすると,積を $n$ で割ったとき (1,1) ともう 1 通りだけ余りが 1 になるパターンを考えていけば良いことになります。

さらに条件を絞りこみましょう。

$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|}\hline&1&2&3&4&5&6\\\hline1&1&2&3&4&5&6\\\hline2&2&4&6&8&10&12\\\hline3&3&6&9&12&15&18\\\hline4&4&8&12&16&20&24\\\hline5&5&10&15&20&25&30\\\hline6&6&12&18&24&30&36\\\hline\end{array}$

こうやって積を表にしてみると分かりますが,例えば積が 18 になるのは (3,6),(6,3) の 2 通りあります。

このとき,$n=17$ とすると,18 を 17 で割った余りは 1 になるのですが,こうなるパターンは (1,1),(3,6),(6,3) の 3 通りあるので,不適となります。

そうすると,可能性としてあり得るのは,積が 1, 4, 9, 16, 25, 36 のときということになります。

(i) 積が 1 のとき

(1,1) の 1 通りだけなので不適。

(ii) 積が 4 のとき

積が 4 になるのは (2,2) 以外に,(1,4),(4,1) があるので不適。

(iii) 積が 9 のとき

$n=8$ のとき,9 を 8 で割って余りが 1 になります。

答え?

じゃない。$n=8$ のとき,(3,3) 以外にも,(5,5) がある。25 を 8 で割ると余り 1 になる。結局,(1,1),(3,3),(5,5) の 3 通りあるから不適。

(iv) 積が 16 のとき

$n=15$ のとき,16 は 15 で割ると余りが 1 になります。15 で割って余りが 1 になるのは,(1,1),(4,4) だけです。これは条件に適します。

3 で割っても 1 余りますよね。

そうね。でも(1)でやったけど $n=3$ のときは確率は $\cfrac{1}{18}$ じゃなかった。

あともう一つ,$n=5$ のときも 16 を 5 で割って余り 1 です。しかし,この場合は他にも (1,6),(6,1),(6,6) があるので,やはり不適です。

こうして条件に適するのは $n=15$ だけということになります。

(v) 積が 25 のとき

考えられる $n$ は $n=2,3,4,6,8,12,24$ があります。いずれの数で割っても余りは 1 です。

しかし(1)より $n=2,3,4$ は不適です。

$n=6$ のとき,6 で割って 1 余るのは (1,1),(5,5) だけなので,適します。

$n=8$ のときは,(iii)で述べた通り不適です。

$n=12$ のとき,12 で割って 1 余る数は (1,1),(5,5) だけです。よって適します。

$n=24$ も同様に適します。

(vi) 積が 36 のとき

考えられる $n$ は $n=5,7,35$ です。

$n=5$ は(iv)で述べた通り,不適です。

$n=7$ のとき,(6,6) 以外にも,(2,4),(4,2),(3,5),(5,3) があるので,不適です。

$n=35$ のとき,(1,1),(6,6) しかないので適します。

したがって

$n=6,12,15,24,35$ (答え)

地味にメンドイですね。

国公立二次の確率の問題ってこんなカンジで地味に数え上げるしかないヤツ多いよ。忍耐力試されてるのだろうけど。

タイトルとURLをコピーしました