2次関数に法線を引くことができる条件を求める(東京都立大2019理学部第3問)

放物線 $y=\cfrac{1}{2}x^2$ を $C$ とする。以下の問いに答えなさい。（東京都立大2019）

(1) $C$ 上の点 $\Big(t,\cfrac{1}{2}t^2\Big)$ における接線の方程式と法線の方程式を求めなさい。

(2) 点 P$(a,b)$ から $C$ 相異なる 2 本の接線を引くことができるための，$a$ と $b$ についての条件を求めなさい。

(3) $a>0$ のとき，点 P$(a,b)$ から $C$ に相異なる 3 本の法線を引くことができるための，$a$ と $b$ についての条件を求めなさい。

接線と法線を求める

(1)から始めます。

まずは，接線の傾きを求めるために微分しましょう。

$y=\cfrac{1}{2}x^2$
$y’=x$

$x=t$ とすると，$y’=t$　だから，接線の傾きは $t$

$\Big(t,\cfrac{1}{2}t^2\Big)$ を通る傾き $t$ の直線の式は

$y-\cfrac{1}{2}t^2=t(x-t)$

$y=tx-t^2+\cfrac{1}{2}t^2$
$=tx-\cfrac{1}{2}t^2$　（答え）

次に，法線の傾きを $m$ とすると
$tm=-1$
$m=-\cfrac{1}{t}$

したがって，法線は

$y-\cfrac{1}{2}t^2=-\cfrac{1}{t}(x-t)$
$y=-\cfrac{1}{t}x+1+\cfrac{1}{2}t^2$ 　（答え）

接線を引くことができる条件

(2)に進みます。

(1)より接線の式は $y=tx-\cfrac{1}{2}t^2$ です。

これが $(a,b)$ を通るので，座標を代入すると

$b=at-\cfrac{1}{2}t^2$

となります。式を変形して

$2b=2at-t^2$
$t^2-2at+2b=0$

つまり，2 本の接線が引けることは，異なる 2 つの実数解が存在することと同じです。

そこで，判別式を用います。

$\dfrac{D}{4}=a^2-2b>0$
$a^2>2b$
$b<\cfrac{a^2}{2}$　（答え）

法線を引くことができる条件

(3)に進みます。

$(a,b)$ を通るので，まずは法線の式に代入していきましょう。

 (1)より，法線は

$y=-\cfrac{1}{t}x+1+\cfrac{1}{2}t^2$

$(a,b)$ を通るので

$b=-\cfrac{1}{t}a+1+\cfrac{1}{2}t^2$

ここから，(2)と同じようにして，$t$ が異なる 3 つの実数解を持つ条件を考えていきます。

両辺を $2t$ 倍して

$2bt=-2a+2t+t^3$
$t^3+2t-2bt-2a=0$

ここで定数分離をしておきます。

$t^3+2(1-b)t=2a$

グラフを描いてみると上のようになります。縦方向で見ると，$2a$ が 2 つの極値の間にあるときに 3 つの実数解が存在するということです。

$f(t)=t^3+2(1-b)t$ として
$f'(t)=3t^2+2(1-b)$

$3t^2+2(1-b)=0$ とすると

$3t^2=-2(1-b)$
$t^2=-\cfrac{2}{3}(1-b)$
$t=\pm\sqrt{-\cfrac{2}{3}(1-b)}$

よって，$f(t)$ は $t=\pm\sqrt{-\cfrac{2}{3}(1-b)}$ で極値をとる。

このままでは計算がやっかいになるので，いったん $\sqrt{-\cfrac{2}{3}(1-b)}=\alpha$ としておきます。

これをさらに式変形して

$-\cfrac{2}{3}(1-b)=\alpha^2$
$2(1-b)=-3\alpha^2$ ・・・①

増減表は

$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline t&\cdots&-\alpha&\cdots&\alpha&\cdots\\\hline f'(t)&+&0&-&0&+\\\hline f(t)&\nearrow&&\searrow&&\nearrow\\\hline\end{array}$

$f(-\alpha)=-\alpha^3-2(1-b)\alpha$

①を代入して

$=-\alpha^3+3\alpha^3=2\alpha^3$

$f(\alpha)=\alpha^3+2(1-b)\alpha$

①を代入して

$=\alpha^3-3\alpha^2=-2\alpha^3$

よって，式が 3 つの異なる解をもつとき

$-2\alpha^3<2a<2\alpha^3$
$-\alpha^3<a<\alpha^3$

が成り立つ。

また，問題文より $a>0$ だから

$0<a<\alpha^3$

$a<\alpha^3$ について整理すると

$a^{\small{\frac{1}{3}}}<\alpha$
$a^{\small{\frac{1}{3}}}<\sqrt{-\cfrac{2}{3}(1-b)}$
$a^{\small{\frac{2}{3}}}<-\cfrac{2}{3}(1-b)$
$\cfrac{3}{2}a^{\small{\frac{2}{3}}}<b-1$
$b>1+\cfrac{3}{2}a^{\small{\frac{2}{3}}}$　（答え）