【三角関数】積和の公式の作り方とその利用(東京都立大2019理学部第1問)

以下の問いに答えなさい。（東京都立大2019）

(1) 三角関数の加法定理を用いて，次の等式を示しなさい。

$\cos\alpha\sin\beta=\cfrac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\}$

(2) $N$ を自然数とする。次の等式を示しなさい。

$(\cos x+\cos2x+\cdots+\cos Nx)\times2\sin\cfrac{x}{2}=\sin\Big(Nx+\cfrac{x}{2}\Big)-\sin\cfrac{x}{2}$

(3) $0<x<2\pi$ の範囲で

$\cos x+\cos2x+\cos3x+\cos4x=0$

をみたす $x$ をすべて求めなさい。

加法定理を組み合わせる

(1)から始めます。

まずは，加法定理から書いていきましょう。

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ ・・・①
$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$　・・・②

①から②を引くと

$\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta$

したがって

$\cos\alpha\sin\beta=\cfrac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\}$

（証明終わり）

積和の公式を利用する

(2)に進みます。(1)で作った等式の両辺を 2 倍すると

$\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta$

これを当てはめていくと

$(\cos x+\cos2x+\cdots+\cos Nx)\times2\sin\cfrac{x}{2}$
$=2\cos x\sin\cfrac{x}{2}+2\cos2x\sin\cfrac{x}{2}+\cdots+2\cos Nx\sin\cfrac{x}{2}$
$=\sin\Big(x+\cfrac{x}{2}\Big)-\sin\Big(x-\cfrac{x}{2}\Big)+\sin\Big(2x+\cfrac{x}{2}\Big)-\sin\Big(2x-\cfrac{x}{2}\Big)+\cdots+\sin\Big(Nx+\cfrac{x}{2}\Big)-\sin\Big(Nx-\cfrac{x}{2}\Big)$
$=\sin\cfrac{3x}{2}-\sin\cfrac{x}{2}+\sin\cfrac{5x}{2}-\sin\cfrac{3x}{2}+\cdots+\sin\cfrac{(2N+1)x}{2}-\sin\cfrac{(2N-1)x}{2}$

足し算と引き算の組み合わせで消去できます。
$=\cancel{\sin\cfrac{3x}{2}}-\sin\cfrac{x}{2}+\cancel{\sin\cfrac{5x}{2}}-\cancel{\sin\cfrac{3x}{2}}+\cdots+\sin\cfrac{(2N+1)x}{2}-\cancel{\sin\cfrac{(2N-1)x}{2}}$
$=\sin\cfrac{(2N+1)x}{2}-\sin\cfrac{x}{2}$

（証明終わり）

和積の公式を使う

(3)に進みます。(1)と(2)で示した等式を利用していきましょう。

$\cos x+\cos2x+\cos3x+\cos4x=0$

両辺に $2\sin\cfrac{x}{2}$ をかけると

$(\cos x+\cos2x+\cos3x+\cos4x)\times2\sin\cfrac{x}{2}=0$

もう少し言えば，$0<x<2\pi$ より $0<\cfrac{x}{2}<\pi$ となるので，$0<\sin\cfrac{x}{2}\leqq1$ です。つまり，$\sin\cfrac{x}{2}$ が 0 になることはありません。よって，上の式がイコール 0 となることと，$\cos x+\cos2x+\cos3x+\cos4x=0$ はつねに同じです。

(2)より

$\sin\Big(4x+\cfrac{x}{2}\Big)-\sin\cfrac{x}{2}=0$

$\sin\cfrac{9x}{2}-\sin\cfrac{x}{2}=0$ ・・・③

$\alpha+\beta=\cfrac{9x}{2}$ ・・・④
$\alpha-\beta=\cfrac{x}{2}$ ・・・⑤

とすると

④＋⑤

$2\alpha=5x$
$\alpha=\cfrac{5x}{2}$

④に代入して

$\cfrac{5x}{2}+\beta=\cfrac{9x}{2}$
$\beta=2x$

よって，③は

$\sin\Big(\cfrac{5x}{2}+2x\Big)-\sin\Big(\cfrac{5x}{2}-2x\Big)=0$
$\cfrac{1}{2}\Big\{\sin\Big(\cfrac{5x}{2}+2x\Big)-\sin\Big(\cfrac{5x}{2}-2x\Big)\Big\}=0$

(1)より

$\cos\cfrac{5x}{2}\sin2x=0$

イコール 0 が成り立つのは，$\cos\cfrac{5x}{2}=0$ または $\sin2x=0$ のときです。

(i) $\cos\cfrac{5x}{2}=0$ のとき

$0<x<2\pi$ より，$0<\cfrac{5x}{2}<5\pi$ となることに注意して
$\cfrac{5x}{2}=\cfrac{\pi}{2},\cfrac{3\pi}{2},\cfrac{5\pi}{2},\cfrac{7\pi}{2},\cfrac{9\pi}{2}$
$x=\cfrac{\pi}{5},\cfrac{3\pi}{5},\pi,\cfrac{7\pi}{5},\cfrac{9\pi}{5}$

(ii) $\sin2x=0$ のとき
$0<x<2\pi$ より，$0<2x<4\pi$ となることに注意して
$2x=\pi,2\pi,3\pi$
$x=\cfrac{\pi}{2},\pi,\cfrac{3\pi}{2}$

したがって

$x=\cfrac{\pi}{5},\cfrac{\pi}{2},\cfrac{3\pi}{5},\pi,\cfrac{7\pi}{5},\cfrac{3\pi}{2},\cfrac{9\pi}{5}$ （答え）