空間ベクトル－平行六面体の体積の求め方(東京都立大2019理系第3問)

図のような平行六面体 OADB－CEFG において，$\overrightarrow{\text{OA}}=\vec{a}$，$\overrightarrow{\text{OB}}=\vec{b}$，$\overrightarrow{\text{OC}}=\vec{c}$ とおく。

$|\vec{a}|=|\vec{c}|=2$，$|\vec{b}|=3$，$\vec{a}\cdot\vec{b}=4$，$\vec{b}\cdot\vec{cc}=5$，$\vec{c}\cdot\vec{a}=3$

とする。3 点 C，E，F の定める平面を $\alpha$ とし，O を通り $\alpha$ に垂直な直線を $\ell$ とする。平面 $\alpha$ と直線 $\ell$ の交点を H とする。以下の問いに答えなさい。（東京都立大2019）

(1) $\overrightarrow{\text{OH}}$ を $\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$ で表しなさい。

(2) $\overrightarrow{\text{OH}}$ の大きさを求めなさい。

(3) 平行六面体 OADB－CEFG の体積を求めなさい。

垂線の足を求める

(1)から始めます。

点 H は平面 $\alpha$ 上のどこかにあります。これをベクトルで表します。

OA と CE は平行だから，$\overrightarrow{\text{CE}}=\vec{a}$ と表すことができます。同様に，$\overrightarrow{\text{CG}}=\vec{b}$ です。よって，点 C をスタート地点として $s\vec{a}+t\vec{b}$ の形で表せば良さそうです。

$\overrightarrow{\text{OH}}=\vec{c}+s\vec{a}+t\vec{b}$

また，$\alpha$ と $\ell$ は垂直だから

$\overrightarrow{\text{OH}}\cdot\vec{a}=0$
$\overrightarrow{\text{OH}}\cdot\vec{b}=0$

が成り立つ。$\overrightarrow{\text{OH}}$ を代入して

$(\vec{c}+s\vec{a}+t\vec{b})\cdot\vec{a}=0$
$\vec{c}\cdot\vec{a}+s|\vec{a}|^2+t\vec{a}\cdot\vec{b}=0$
$3+4s+4t=0$ ・・・①

また

$(\vec{c}+s\vec{a}+t\vec{b})\cdot\vec{b}=0$
$\vec{b}\cdot\vec{c}+s\vec{a}\cdot\vec{b}+t|\vec{b}|^2=0$
$5+4s+9t=0$ ・・・②

②－①

$2+5t=0$
$t=-\cfrac{2}{5}$

①に代入すると

$3+4s-4\cdot\cfrac{2}{5}=0$
$4s=-\cfrac{7}{5}$
$s=-\cfrac{7}{20}$

したがって

$\overrightarrow{\text{OH}}=-\cfrac{7}{20}\vec{a}-\cfrac{2}{5}\vec{b}+\vec{c}$　（答え）

絶対値を２乗する

(2)に進みます。ここはいったん絶対値の２乗を求めます。項が３つあるときの展開の公式を思い出しましょう。

$|\overrightarrow{\text{OH}}|^2=\Big(-\cfrac{7}{20}\vec{a}-\cfrac{2}{5}\vec{b}+\vec{c}\Big)^2$
$=\cfrac{49}{400}|\vec{a}|^2+\cfrac{4}{25}|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+\cfrac{14}{50}\vec{a}\cdot\vec{b}-\cfrac{4}{5}\vec{b}\cdot\vec{c}-\cfrac{7}{10}\vec{c}\cdot\vec{a}$
$=\cfrac{49}{400}\cdot2^2+\cfrac{4}{25}\cdot3^2+2^2+\cfrac{14}{50}\cdot4-\cfrac{4}{5}\cdot5-\cfrac{7}{10}\cdot3$
$=\cfrac{95}{100}$

したがって

$|\overrightarrow{\text{OH}}|=\cfrac{\sqrt{95}}{10}$　（答え）

平行四辺形の面積をどう求めるか

(3)に進みます。体積を出すには平行四辺形OADBの面積を求め，それに高さとしてOHをかければ良さそうです。

このように，$\sin\theta$ の値が分かれば平行四辺形の高さを求めることができます。

そこで，内積の公式を利用しましょう。

$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ より

$4=2\cdot3\cdot\cos\theta$
$\cos\theta=\cfrac{2}{3}$

公式　$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$  より
$\sin^2\theta+\Big(\cfrac{2}{3}\Big)^2=1$
$\sin^2\theta=\cfrac{5}{9}$
$\sin\theta=\cfrac{\sqrt{5}}{3}$

したがって体積は

$V=|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta|\overrightarrow{\text{OH}}|$
$=2\cdot3\cdot\cfrac{\sqrt{5}}{3}\cdot\cfrac{\sqrt{95}}{10}$
$=\sqrt{19}$　（答え）